Determine, caso exista, a inversa das matrizes abaixo usando o processo de escalonamento
c)
H=\left[\begin{array}{rrc}2 & 0 & 0 \\\ 4 & -1 & 0 \\\ 2 & 3 & -1\end{array}\right] .

Passo 1

O enunciado dá a matriz
H=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\[4pt] 4 & -1 & 0 \\[4pt] 2 & 3 & -1\end{pmatrix}
e pede para determinar, se existir, a inversa dessa matriz usando o processo de escalonamento.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz H é uma matriz 3\times3.
  • Os elementos da diagonal principal são 2, -1 e -1.
  • A tarefa é encontrar H^{-1} (a inversa), ou dizer que não existe se a matriz não for invertível.]

Passo 2

Breve aula sobre o método que vamos usar (Gauss–Jordan via escalonamento):
Para encontrar H^{-1} pelo processo de escalonamento, montamos a matriz aumentada \bigl[H \mid I\bigr], onde I é a matriz identidade 3\times3. Aplicamos operações elementares de linha (troca de linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, adicionar múltiplo de uma linha a outra) para transformar a parte esquerda da matriz aumentada em I. Quando isso ocorrer, a parte direita da matriz aumentada será exatamente H^{-1}. Essas operações correspondem a multiplicar à esquerda por matrizes elementares; como são invertíveis, o processo preserva a existência da inversa.
Observação prática: como H é triangular inferior com entradas da diagonal \,2,-1,-1\neq0, já sabemos a priori que H é invertível. Isso só confirma que o processo terá sucesso.

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada inicial \bigl[H\mid I\bigr]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\[4pt] 4 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\[4pt] 2 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Vou aplicar operações de linha para transformar a parte esquerda em I.]

Passo 4

Primeiro objetivo: obter pivô 1 na posição (1,1). Como atualmente temos 2 ali, dividimos a linha 1 por 2:
  • R_1 := \dfrac{1}{2}R_1.
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac12 & 0 & 0 \\[4pt] 4 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\[4pt] 2 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Explicação: deixar o pivô igual a 1 facilita as eliminações nas outras linhas.]

Passo 5

Eliminamos as entradas abaixo do pivô na coluna 1:
  • R_2 := R_2 - 4R_1,
  • R_3 := R_3 - 2R_1.
Calculemos cada uma:
Para R_2:
R_2 = (4,\,-1,\,0\mid 0,\,1,\,0) - 4\cdot(1,0,0\mid\tfrac12,0,0) = (0,\,-1,\,0\mid -2,\,1,\,0).
Para R_3:
R_3 = (2,\,3,\,-1\mid 0,\,0,\,1) - 2\cdot(1,0,0\mid\tfrac12,0,0) = (0,\,3,\,-1\mid -1,\,0,\,1).
A matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac12 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 3 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora foco no pivô da segunda linha, posição (2,2), que é -1. Tornamos esse pivô igual a 1 multiplicando a linha 2 por -1:
  • R_2 := -R_2.
Isso dá:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac12 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\[4pt] 0 & 3 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right]
Comentário: com pivô 1 na linha 2, podemos zerar a coluna 2 nas outras linhas.]

Passo 7

Eliminamos a entrada abaixo do pivô na coluna 2 (posição (3,2)):
  • R_3 := R_3 - 3R_2.
Calculemos:
R_3 = (0,3,-1\mid -1,0,1) - 3\cdot(0,1,0\mid 2,-1,0) = (0,0,-1\mid -1-6,\;0+3,\;1-0) = (0,0,-1\mid -7,\;3,\;1).
A matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac12 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & -1 & -7 & 3 & 1 \end{array}\right]]

Passo 8

Pivô da terceira linha (posição (3,3)) é -1. Fazemos R_3 := -R_3 para tornar o pivô 1:
R_3 = (0,0,-1\mid -7,3,1)\cdot(-1) = (0,0,1\mid 7,-3,-1).
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac12 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 & 7 & -3 & -1 \end{array}\right]]

Passo 9

Verificação e conclusão do Gauss–Jordan: a parte esquerda já é a matriz identidade I_3. Não há entradas acima de pivôs diferentes de zero para eliminar (as colunas já têm zeros nas posições acima), então o processo termina aqui. A parte direita da matriz aumentada é, por construção, H^{-1}.
Portanto:
H^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac12 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & -1 & 0 \\[4pt] 7 & -3 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 10

Interpretação didática final (como você faria rápido na prova):
  • Como H é triangular inferior com diagonal não nula, H é invertível e a inversa também será triangular inferior.
  • Uma forma ainda mais direta é resolver Hx=e_i por substituição para cada coluna i (forward substitution). Fizemos o processo equivalente via escalonamento e obtivemos as colunas da inversa: coluna 1 (\tfrac12,2,7)^T, coluna 2 (0,-1,-3)^T, coluna 3 (0,0,-1)^T.
  • Dica para a prova: se a matriz já for triangular, pense em substituição direta; se não, use a matriz aumentada e Gauss–Jordan.

Resposta

H^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac12 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & -1 & 0 \\[4pt] 7 & -3 & -1 \end{pmatrix}]

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