e pede para determinar, se existir, a inversa dessa matriz usando o processo de escalonamento.
Informações relevantes dadas:
A matriz H é uma matriz 3\times3.
Os elementos da diagonal principal são 2, -1 e -1.
A tarefa é encontrar H^{-1} (a inversa), ou dizer que não existe se a matriz não for invertível.]
Passo 2
Breve aula sobre o método que vamos usar (Gauss–Jordan via escalonamento):
Para encontrar H^{-1} pelo processo de escalonamento, montamos a matriz aumentada \bigl[H \mid I\bigr], onde I é a matriz identidade 3\times3. Aplicamos operações elementares de linha (troca de linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, adicionar múltiplo de uma linha a outra) para transformar a parte esquerda da matriz aumentada em I. Quando isso ocorrer, a parte direita da matriz aumentada será exatamente H^{-1}. Essas operações correspondem a multiplicar à esquerda por matrizes elementares; como são invertíveis, o processo preserva a existência da inversa.
Observação prática: como H é triangular inferior com entradas da diagonal \,2,-1,-1\neq0, já sabemos a priori que H é invertível. Isso só confirma que o processo terá sucesso.
Passo 3
Escrevemos a matriz aumentada inicial \bigl[H\mid I\bigr]:
Verificação e conclusão do Gauss–Jordan: a parte esquerda já é a matriz identidade I_3. Não há entradas acima de pivôs diferentes de zero para eliminar (as colunas já têm zeros nas posições acima), então o processo termina aqui. A parte direita da matriz aumentada é, por construção, H^{-1}.
Interpretação didática final (como você faria rápido na prova):
Como H é triangular inferior com diagonal não nula, H é invertível e a inversa também será triangular inferior.
Uma forma ainda mais direta é resolver Hx=e_i por substituição para cada coluna i (forward substitution). Fizemos o processo equivalente via escalonamento e obtivemos as colunas da inversa: coluna 1 (\tfrac12,2,7)^T, coluna 2 (0,-1,-3)^T, coluna 3 (0,0,-1)^T.
Dica para a prova: se a matriz já for triangular, pense em substituição direta; se não, use a matriz aumentada e Gauss–Jordan.