Usando o teste da diferença de termos, mostre que as sequências abaixo são monótonas.
a) 1-1n
b) n4 n-1

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da diferença de termos para verificar a monotonicidade das sequências
;an = 1 - tfrac1n; e ;bn = tfracn4n-1.
No teste da diferença, calculamos an+1-an (ou bn+1-bn) e examinamos seu sinal.

Passo 2

Para ;an = 1 - tfrac1n:
an+1 - an = l(1 - tfrac1n+1r) - l(1 - tfrac1nr) = tfrac1n - tfrac1n+1 = tfrac(n+1)-nn(n+1) = tfrac1n(n+1) > 0
Como essa diferença é positiva para todo n>=1, concluímos que ;an é estritamente crescente.

Passo 3

Para ;bn = tfracn4n-1:
bn+1 - bn = n+14n+3 - n4n-1 = (n+1)(4n-1) - n(4n+3)(4n-1)(4n+3) = -1(4n-1)(4n+3) < 0
Como essa diferença é negativa para todo n>=1, concluímos que ;bn é estritamente decrescente.

Resposta

a) 1 - tfrac1n é crescente.
b) tfracn4n-1 é decrescente.

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