1. Determine, em centímetros, comprimento do raio de uma circunferência sabendo que o comprimento de um arco correspondente a um ângulo de 24^{\circ} é 12 cm .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Comprimento do arco: s = 12\\ \text{cm}.
  • Ângulo central que subtende esse arco: \alpha = 24^\circ.
    O que se pede: determinar, em centímetros, o comprimento do raio r da circunferência sabendo esses dados.

Passo 2

Fórmula fundamental e ideia por trás dela:
s = r\theta
Onde:
  • s é o comprimento do arco (a distância ao longo da circunferência).
  • r é o raio da circunferência (o que queremos).
  • \theta é o ângulo central correspondente, medido em radianos.
Explicação curta e intuitiva: a circunferência inteira tem comprimento 2\pi r e corresponde a um ângulo de 2\pi radianos. Portanto, uma parte proporcional da circunferência (um arco) que corresponde ao ângulo \theta tem comprimento proporcional: s/(2\pi r)=\theta/(2\pi), que leva a s=r\theta.

Passo 3

Convertendo o ângulo de graus para radianos (obrigatório porque a fórmula usa radianos):
\theta = 24^\circ = \frac{24\pi}{180} = \frac{2\pi}{15}\\ \text{radianos}.
Aqui foi usado que 1^\circ = \dfrac{\pi}{180} rad e simplificou-se \dfrac{24}{180}=\dfrac{2}{15}.

Passo 4

Isolando r na fórmula s=r\theta e substituindo s e \theta:
r=\frac{s}{\theta}=\frac{12}{\tfrac{2\pi}{15}}.
Fazendo a divisão por fração (multiplica pelo inverso) e simplificando passo a passo:
r=12\cdot\frac{15}{2\pi}=\frac{180}{2\pi}=\frac{90}{\pi}\\ \text{cm}.
Unidade: como s estava em centímetros e \theta é adimensional (radianos), r fica em centímetros.

Passo 5

Valor aproximado (para ter uma noção numérica):
r\approx\frac{90}{3{,}14159}\approx 28{,}65\\ \text{cm}.
Arredondei para duas casas decimais; na prova normalmente é preferível deixar a forma exata se pedirem valor exato.

Resposta

\dfrac{90}{\pi}\\ \text{cm} \approx 28{,}65\\ \text{cm}

Exercícios relacionados