Mostre que
\frac{1}{2} \oint_{\alpha}\left(v \frac{\partial u}{\partial x}-u \frac{\partial v}{\partial x}\right) d x+\left(u \frac{\partial v}{\partial y}-v \frac{\partial u}{\partial y}\right) d y=\iint_{\mathbb{D}}\left(u \frac{\partial^{2} v}{\partial x \partial y}-v \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções u(x,y) e v(x,y) definidas em uma região plana \mathbb{D} com fronteira curva fechada \alpha=\partial\mathbb{D}. A identidade que precisamos mostrar é
\frac{1}{2}\oint_{\alpha}\bigl(v\,\frac{\partial u}{\partial x}-u\,\frac{\partial v}{\partial x}\bigr)\,dx+\bigl(u\,\frac{\partial v}{\partial y}-v\,\frac{\partial u}{\partial y}\bigr)\,dy =\iint_{\mathbb{D}}\bigl(u\,\frac{\partial^{2} v}{\partial x\partial y}-v\,\frac{\partial^{2} u}{\partial x\partial y}\bigr)\,dx\,dy.
Informações/hipóteses relevantes (presumidas para que a igualdade faça sentido):
  • \mathbb{D} é uma região plana com fronteira suave \alpha orientada positivamente (no sentido anti-horário).
  • u e v têm derivadas parciais contínuas até segunda ordem em \overline{\mathbb{D}} (isso garante que podemos trocar a ordem das derivadas mistas e aplicar teoremas de integração).
    O pedido: provar a igualdade acima.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do que será usado): transformar a integral de linha ao longo de \alpha numa integral dupla sobre \mathbb{D} usando a fórmula que relaciona uma integral de linha de um campo planar (P,Q) com a integral dupla do campo de rotação (essa é uma forma do teorema de Green). A fórmula é:
\oint_{\alpha}P\,dx+Q\,dy=\iint_{\mathbb{D}}\bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\bigr)\,dx\,dy,
válida quando P e Q têm derivadas parciais contínuas em \overline{\mathbb{D}}. Vamos escolher P e Q de modo a coincidir com o integrando de linha do enunciado e então calcular \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.

Passo 3

Definição clara de P e Q (pegando os coeficientes que aparecem na integral de linha):
P(x,y)=\tfrac{1}{2}\bigl(v\,u_x-u\,v_x\bigr),\qquad Q(x,y)=\tfrac{1}{2}\bigl(u\,v_y-v\,u_y\bigr),
onde uso a notação u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x}, v_y=\dfrac{\partial v}{\partial y}, etc. Agora vou calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x} e \dfrac{\partial P}{\partial y} aplicando a regra do produto termo a termo (produto de funções depende da derivada de cada fator).
Cálculo de \dfrac{\partial Q}{\partial x}:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\tfrac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x}\bigl(u\,v_y-v\,u_y\bigr) =\tfrac{1}{2}\bigl(u_x\,v_y+u\,v_{xy}-v_x\,u_y-v\,u_{xy}\bigr).
Expliquei cada termo: ao derivar u\,v_y em relação a x obtém-se u_x\,v_y+u\,v_{xy} (produto), e ao derivar -v\,u_y obtém-se -v_x\,u_y-v\,u_{xy}.
Cálculo de \dfrac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial P}{\partial y} =\tfrac{1}{2}\frac{\partial}{\partial y}\bigl(v\,u_x-u\,v_x\bigr) =\tfrac{1}{2}\bigl(v_y\,u_x+v\,u_{xy}-u_y\,v_x-u\,v_{xy}\bigr).
Novamente aplicando a regra do produto a cada termo.

Passo 4

Subtração \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y} e simplificação cuidadosa (mostrar cancelamentos):
\begin{aligned} \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} &=\tfrac{1}{2}\bigl(u_x v_y+u v_{xy}-v_x u_y-v u_{xy}\bigr) -\tfrac{1}{2}\bigl(v_y u_x+v u_{xy}-u_y v_x-u v_{xy}\bigr)\\[6pt] &=\tfrac{1}{2}\Bigl[(u_x v_y - v_y u_x) + (u v_{xy}+u v_{xy}) +(-v_x u_y + u_y v_x)+(-v u_{xy}-v u_{xy})\Bigr]. \end{aligned}
Agora observações sobre cada grupo:
  • u_x v_y - v_y u_x = 0.
  • -v_x u_y + u_y v_x = 0.
  • u v_{xy}+u v_{xy} = 2u v_{xy}.
  • -v u_{xy}-v u_{xy} = -2v u_{xy}.
Portanto
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\tfrac{1}{2}\bigl(2u v_{xy}-2v u_{xy}\bigr) = u\,v_{xy}-v\,u_{xy}.]

Passo 5

Aplicação final do teorema (conclusão): como \oint_{\alpha}P\,dx+Q\,dy=\iint_{\mathbb{D}}(Q_x-P_y)\,dx\,dy e mostramos que Q_x-P_y=u\,v_{xy}-v\,u_{xy}, segue imediatamente que
\frac{1}{2}\oint_{\alpha}\bigl(v\,u_x-u\,v_x\bigr)\,dx+\bigl(u\,v_y-v\,u_y\bigr)\,dy =\iint_{\mathbb{D}}\bigl(u\,v_{xy}-v\,u_{xy}\bigr)\,dx\,dy,
que é exatamente a identidade pedida. Pronto! Mandou bem por chegar até aqui — esses passos de produto e cancelamento são o coração do cálculo vetorial em duas dimensões.

Resposta

\frac{1}{2}\oint_{\alpha}\bigl(v\,\frac{\partial u}{\partial x}-u\,\frac{\partial v}{\partial x}\bigr)\,dx+\bigl(u\,\frac{\partial v}{\partial y}-v\,\frac{\partial u}{\partial y}\bigr)\,dy =\iint_{\mathbb{D}}\bigl(u\,\frac{\partial^{2} v}{\partial x\partial y}-v\,\frac{\partial^{2} u}{\partial x\partial y}\bigr)\,dx\,dy.

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