\frac{1}{2} \oint_{\alpha}\left(v \frac{\partial u}{\partial x}-u \frac{\partial v}{\partial x}\right) d x+\left(u \frac{\partial v}{\partial y}-v \frac{\partial u}{\partial y}\right) d y=\iint_{\mathbb{D}}\left(u \frac{\partial^{2} v}{\partial x \partial y}-v \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\right) d x d y
Passo 1
O enunciado nos dá duas funções u(x,y) e v(x,y) definidas em uma região plana \mathbb{D} com fronteira curva fechada \alpha=\partial\mathbb{D}. A identidade que precisamos mostrar é
Informações/hipóteses relevantes (presumidas para que a igualdade faça sentido):
\mathbb{D} é uma região plana com fronteira suave \alpha orientada positivamente (no sentido anti-horário).
u e v têm derivadas parciais contínuas até segunda ordem em \overline{\mathbb{D}} (isso garante que podemos trocar a ordem das derivadas mistas e aplicar teoremas de integração).
O pedido: provar a igualdade acima.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do que será usado): transformar a integral de linha ao longo de \alpha numa integral dupla sobre \mathbb{D} usando a fórmula que relaciona uma integral de linha de um campo planar (P,Q) com a integral dupla do campo de rotação (essa é uma forma do teorema de Green). A fórmula é:
válida quando P e Q têm derivadas parciais contínuas em \overline{\mathbb{D}}. Vamos escolher P e Q de modo a coincidir com o integrando de linha do enunciado e então calcular \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.
Passo 3
Definição clara de P e Q (pegando os coeficientes que aparecem na integral de linha):
onde uso a notação u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x}, v_y=\dfrac{\partial v}{\partial y}, etc. Agora vou calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x} e \dfrac{\partial P}{\partial y} aplicando a regra do produto termo a termo (produto de funções depende da derivada de cada fator).
Aplicação final do teorema (conclusão): como \oint_{\alpha}P\,dx+Q\,dy=\iint_{\mathbb{D}}(Q_x-P_y)\,dx\,dy e mostramos que Q_x-P_y=u\,v_{xy}-v\,u_{xy}, segue imediatamente que
que é exatamente a identidade pedida. Pronto! Mandou bem por chegar até aqui — esses passos de produto e cancelamento são o coração do cálculo vetorial em duas dimensões.