04 . As cidades
e
estão dispostas de tal forma que, no triângulo
, o ângulo
mede
e o ângulo
mede
. Se a distância de
a
é de 30 km , determine a distância de
a
.
Dado:
.
a) 14 km
b) 21 km
c) 30 km
d) 45 km
e) 54 km
Dado:
a) 14 km
b) 21 km
c) 30 km
d) 45 km
e) 54 km
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
- No triângulo
tem-se e . - A distância entre
e é .
O que se pede: - Determinar a distância entre
e (ou seja, o comprimento do lado ).
Passo 2
Primeiro encontramos o terceiro ângulo do triângulo. Como a soma dos ângulos internos é
, temos:
Passo 3
Vamos definir os lados em relação aos ângulos (rotina padrão para usar leis trigonométricas):
-
é o lado oposto a ; portanto (é o que queremos). -
é o lado oposto a ; ou seja . -
é o lado oposto a ; portanto .
Do enunciado pegamos que.
Passo 4
Usaremos a Lei dos Senos. A Lei dos Senos diz que, em qualquer triângulo,
Aqui cada variável significa:
-
são os comprimentos dos lados opostos aos ângulos respectivamente; -
são os senos desses ângulos.
A Lei dos Senos é aplicável a qualquer triângulo não-degenerado e é uma ferramenta direta para relacionar lados e ângulos.
Passo 5
Selecionamos a razão que envolve
e
:
Substituindo os valores conhecidos
,
e
, e usando os valores exatos dos senos:
temos
Racionalizando o denominador:
Passo 6
Agora usamos o valor fornecido pelo enunciado
para obter o valor numérico:
Resposta
b) 21 km