04 . As cidades A, B e C estão dispostas de tal forma que, no triângulo A B C, o ângulo \hat{A} mede 30^{\circ} e o ângulo \widehat{B} mede 105^{\circ}. Se a distância de A a B é de 30 km , determine a distância de B a C.
Dado: \sqrt{2}=1,4.
a) 14 km
b) 21 km
c) 30 km
d) 45 km
e) 54 km

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • No triângulo A B C tem-se \widehat{A}=30^\circ e \widehat{B}=105^\circ.
  • A distância entre A e B é A B=30\\ \text{km}.
    O que se pede:
  • Determinar a distância entre B e C (ou seja, o comprimento do lado BC).

Passo 2

Primeiro encontramos o terceiro ângulo do triângulo. Como a soma dos ângulos internos é 180^\circ, temos:
\widehat{C}=180^\circ-\widehat{A}-\widehat{B}=180^\circ-30^\circ-105^\circ=45^\circ.

Passo 3

Vamos definir os lados em relação aos ângulos (rotina padrão para usar leis trigonométricas):
  • a é o lado oposto a \widehat{A}; portanto a=BC (é o que queremos).
  • b é o lado oposto a \widehat{B}; ou seja b=AC.
  • c é o lado oposto a \widehat{C}; portanto c=AB.
    Do enunciado pegamos que c=AB=30\\ \text{km}.

Passo 4

Usaremos a Lei dos Senos. A Lei dos Senos diz que, em qualquer triângulo,
\frac{a}{\sin\widehat{A}}=\frac{b}{\sin\widehat{B}}=\frac{c}{\sin\widehat{C}}.
Aqui cada variável significa:
  • a,b,c são os comprimentos dos lados opostos aos ângulos \widehat{A},\widehat{B},\widehat{C} respectivamente;
  • \sin\widehat{A},\sin\widehat{B},\sin\widehat{C} são os senos desses ângulos.
    A Lei dos Senos é aplicável a qualquer triângulo não-degenerado e é uma ferramenta direta para relacionar lados e ângulos.

Passo 5

Selecionamos a razão que envolve a e c:
\frac{a}{\sin\widehat{A}}=\frac{c}{\sin\widehat{C}} \quad\Rightarrow\quad a=c\cdot\frac{\sin\widehat{A}}{\sin\widehat{C}}.
Substituindo os valores conhecidos \widehat{A}=30^\circ, \widehat{C}=45^\circ e c=30, e usando os valores exatos dos senos:
\sin 30^\circ=\frac{1}{2},\qquad \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},
temos
a=30\cdot\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=30\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{30}{\sqrt{2}}.
Racionalizando o denominador:
\frac{30}{\sqrt{2}}=\frac{30\sqrt{2}}{2}=15\sqrt{2}.

Passo 6

Agora usamos o valor fornecido pelo enunciado \sqrt{2}=1{,}4 para obter o valor numérico:
a=15\sqrt{2}=15\cdot 1{,}4=21\\ \text{km}.

Resposta

b) 21 km

Exercícios relacionados