Determine o centro de massa de um cone (o sólido) circular reto de base
e altura
, cuja densidade é proporcional à distancia até a base do cone.
Passo 1
O enunciado pede o centro de massa de um cone circular reto de raio de base
e altura
, cuja densidade varia linearmente com a distância até a base. Isso significa que, escolhendo o plano da base em
e o vértice em
, temos
O conteúdo aqui envolve cálculo de momentos de massa em coordenadas cilíndricas com densidade variável.
O conteúdo aqui envolve cálculo de momentos de massa em coordenadas cilíndricas com densidade variável.
Passo 2
Pela simetria circular do cone, as coordenadas horizontais do centro de massa são nulas:
e
.
Resta calcular a coordenada vertical
Resta calcular a coordenada vertical
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas
, vale
e, para cada , o raio máximo é
e, para cada
Portanto o denominador fica
Passo 4
Calculemos
Expandindo e integrando termo a termo, obtemos
Logo
Passo 5
O numerador é
Definindo
segue
Passo 6
Substituindo em
:
Resposta
O centro de massa do cone fica em
.