Determine o centro de massa de um cone (o sólido) circular reto de base R e altura h, cuja densidade é proporcional à distancia até a base do cone.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de um cone circular reto de raio de base R e altura h, cuja densidade varia linearmente com a distância até a base. Isso significa que, escolhendo o plano da base em z=0 e o vértice em z=h, temos
\rho=k\,z
O conteúdo aqui envolve cálculo de momentos de massa em coordenadas cilíndricas com densidade variável.

Passo 2

Pela simetria circular do cone, as coordenadas horizontais do centro de massa são nulas:
\bar x=0 e \bar y=0.
Resta calcular a coordenada vertical
\bar z = \frac{\displaystyle\int_V z\,\rho\,dV}{\displaystyle\int_V \rho\,dV}.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), vale
dV = r\,dr\,d\theta\,dz
e, para cada z\in[0,h], o raio máximo é
r_{\max}=R\Bigl(1-\frac{z}{h}\Bigr).
Portanto o denominador fica
\int_V \rho\,dV = k\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{h}\!\!\int_{0}^{R(1-z/h)} z\,r\,dr\,dz\,d\theta =2\pi k\int_{0}^{h} z\,\frac{R^2}{2}\Bigl(1-\frac{z}{h}\Bigr)^{2}dz.

Passo 4

Calculemos
I_1 = \int_{0}^{h} z\Bigl(1-\tfrac{z}{h}\Bigr)^{2}dz.
Expandindo e integrando termo a termo, obtemos
I_1 = \int_{0}^{h}\Bigl(z - 2\tfrac{z^{2}}{h} + \tfrac{z^{3}}{h^{2}}\Bigr)dz = h^{2}\Bigl(\tfrac12 - \tfrac23 + \tfrac14\Bigr) = \frac{h^{2}}{12}.
Logo
\int_V \rho\,dV =2\pi k\,\frac{R^{2}}{2}\,\frac{h^{2}}{12} =\pi k R^{2}\frac{h^{2}}{12}.

Passo 5

O numerador é
\int_V z\,\rho\,dV = k\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{h}\!\!\int_{0}^{R(1-z/h)} z^{2}r\,dr\,dz\,d\theta =2\pi k\int_{0}^{h} z^{2}\,\frac{R^{2}}{2}\Bigl(1-\frac{z}{h}\Bigr)^{2}dz.
Definindo
I_2 = \int_{0}^{h} z^{2}\Bigl(1-\tfrac{z}{h}\Bigr)^{2}dz = \frac{h^{3}}{30},
segue
\int_V z\,\rho\,dV =\pi k R^{2}\frac{h^{3}}{30}.

Passo 6

Substituindo em \bar z:
\bar z =\frac{\pi k R^{2}\frac{h^{3}}{30}}{\pi k R^{2}\frac{h^{2}}{12}} =\frac{h^{3}/30}{h^{2}/12} =\frac{12}{30}\,h =\frac{2}{5}\,h.

Resposta

O centro de massa do cone fica em
\displaystyle\bigl(0,0,\tfrac{2h}{5}\bigr).

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