Calcule o centróide do tetraedro limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e x+y+z=1.

Passo 1

O enunciado pede o centróide do tetraedro dado por
x\ge0,\quad y\ge0,\quad z\ge0,\quad x+y+z\le1.
O conteúdo aqui é cálculo de centro de massa (centróide) de uma região no espaço com densidade uniforme, usando integrais triplas.

Passo 2

As coordenadas do centróide (\bar x,\bar y,\bar z) de uma região V de massa uniforme são
\bar x = \frac{1}{V}\iiint_{V} x\,dV,\quad \bar y = \frac{1}{V}\iiint_{V} y\,dV,\quad \bar z = \frac{1}{V}\iiint_{V} z\,dV,
onde
V = \iiint_{V} dV
é o volume do tetraedro.

Passo 3

Calcular o volume
V = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}\int_{z=0}^{1-x-y} dz\,dy\,dx.
Integramos em z:
\int_{0}^{1-x-y} dz = 1 - x - y,
então
V = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} (1 - x - y)\,dy\,dx = \int_{0}^{1} \Bigl[(1-x)y - \tfrac{1}{2}y^2\Bigr]_{y=0}^{1-x} dx = \int_{0}^{1} \frac{(1-x)^2}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}(1 - 2x + x^2)\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{6}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \iiint_{V} x\,dV:
\iiint_{V} x\,dV = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\int_{0}^{1-x-y} x\,dz\,dy\,dx = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} x\,(1 - x - y)\,dy\,dx.
Integramos em y:
\int_{0}^{1-x} x(1 - x - y)\,dy = x\Bigl[(1-x)y - \tfrac{1}{2}y^2\Bigr]_{0}^{1-x} = x\cdot\frac{(1-x)^2}{2}.
Logo
\iiint_{V} x\,dV = \int_{0}^{1} \frac{x(1-x)^2}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}(x - 2x^2 + x^3)\,dx = \frac{1}{2}\Bigl[\tfrac{x^2}{2} - \tfrac{2x^3}{3} + \tfrac{x^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12} = \frac{1}{24}.

Passo 5

Obter \bar x:
\bar x = \frac{1}{V}\iiint_{V} x\,dV = \frac{1}{\tfrac{1}{6}}\cdot\frac{1}{24} = 6\cdot\frac{1}{24} = \frac{1}{4}.

Passo 6

Por simetria, as integrais \displaystyle \iiint_{V} y\,dV e \displaystyle \iiint_{V} z\,dV são iguais à de x. Logo
\bar y = \bar z = \frac{1}{4}.

Resposta

\bigl(\bar x,\bar y,\bar z\bigr) = \Bigl(\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{4}\Bigr).

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