Determine o centro de massa de una lâmina limitada por y=2 x-x^2 e 0 <= x <= 2, sempre que a sua densidade em todo ponto é 1-y1+x.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de uma lâmina no plano xy limitada abaixo por y=0, acima por y=2x−x^2 e entre x=0 e x=2, com densidade variável ρ(x,y)=(1−y)/(1+x). Vamos usar as fórmulas de massa e momentos para lâminas com densidade variável.

Passo 2

Para calcular a massa m usamos
m = integral0^2 integral0^2x - x^2 1 - y1 + x , dy , dx
A integral interna é
integral0^2x - x^2 (1 - y) , dy = (2x - x^2) - (2x - x^2)^22 = 2x - 3x^2 + 2x^3 - x^42
Substituindo e fazendo divisão polinomial seguida de integração, obtemos
m = 263 - 152 ln 3

Passo 3

Para o momento em relação ao eixo y (My) calculamos
My = integral0^2 integral0^2x - x^2 x,1 - y1 + x , dy , dx
Fazendo a integral interna e divisão polinomial, chega-se a
My = -11815 + 152 ln 3

Passo 4

Para o momento em relação ao eixo x (Mx) usamos
Mx = integral0^2 integral0^2x - x^2 y,1 - y1 + x , dy , dx
A integral interna dá um polinômio de grau 6 em x dividido por (1+x); após divisão polinomial e integração, obtemos
Mx = -66245 + 272 ln 3

Passo 5

As coordenadas do centro de massa são dadas por
barx = Mym, bary = Mxm
Substituindo as expressões encontradas para m, My e Mx e simplificando, resulta
barx = 225ln 3 - 236260 - 225ln 3, bary = 1215ln 3 - 1324780 - 675ln 3

Resposta

O centro de massa da lâmina é
(,225ln 3 - 236260 - 225ln 3,;1215ln 3 - 1324780 - 675ln 3)

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