Determine o centro de massa de una lâmina limitada por
e
, sempre que a sua densidade em todo ponto é
.
Passo 1
O enunciado pede o centro de massa de uma lâmina no plano xy limitada abaixo por y=0, acima por y=2x−x^2 e entre x=0 e x=2, com densidade variável ρ(x,y)=(1−y)/(1+x). Vamos usar as fórmulas de massa e momentos para lâminas com densidade variável.
Passo 2
Para calcular a massa m usamos
A integral interna é
Substituindo e fazendo divisão polinomial seguida de integração, obtemos
Passo 3
Para o momento em relação ao eixo y (My) calculamos
Fazendo a integral interna e divisão polinomial, chega-se a
Passo 4
Para o momento em relação ao eixo x (Mx) usamos
A integral interna dá um polinômio de grau 6 em x dividido por (1+x); após divisão polinomial e integração, obtemos
Passo 5
As coordenadas do centro de massa são dadas por
Substituindo as expressões encontradas para m, My e Mx e simplificando, resulta
Resposta
O centro de massa da lâmina é