Uma lâmina delgada de densidade constante c, está limitada por duas circunferências de raios a>b>0. Calcular o momento polar de inércia I0

Passo 1

O enunciado pede para calcular o momento polar de inércia de uma lâmina plana, de densidade constante c, ocupando a região entre duas circunferências concêntricas de raios b e a (com a>b>0). O conteúdo envolve momento de inércia em coordenadas polares e integrais duplas.

Passo 2

Para calcular o momento polar de inércia I0, usamos a definição I0=integral duplaR r^2,dm, onde r é a distância ao centro e dm=c,dA devido à densidade constante.
Em coordenadas polares, a área elementar é dA=r,dr,dtheta. Assim, o elemento de massa fica dm=c,r,dr,dtheta e o integrando r^2,dm=c,r^3,dr,dtheta. Integrando sobre thetain[0,2pi] e rin[b,a]:
I0=integral0^2piintegralb^ac,r^3,dr,dtheta = c,2piintegralb^ar^3,dr = c,2pi[r^44]b^a
Fazendo a conta final do integral, obtemos
I0=c,2pi4l(a^4-b^4r) =c,pi2l(a^4-b^4r)

Resposta

I0=dfracc,pi2l(a^4-b^4r)

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