Determine o centro e o raio do círculo de equação dada:
Passo 1
O enunciado dá a equação do círculo e pede o centro e o raio. A equação fornecida é:
O que se pede:
- determinar o centro
do círculo; - determinar o raio
do círculo.
Passo 2
Lembrete prático (fórmula que vamos usar): a forma padrão de um círculo com centro
e raio
é
Para colocar a equação dada nessa forma, vamos completar o quadrado nas variáveis
e
. Completar o quadrado significa transformar expressões do tipo
em
menos o ajuste necessário. Vou mostrar passo a passo.
Passo 3
Primeiro, agrupo os termos de
e de
e fatoro
para facilitar:
Passo 4
Agora completo o quadrado dentro de cada parêntese.
Para
: a expressão é
. Para completar o quadrado, note que
Portanto acrescento e subtraio
dentro do parêntese (o efeito fora é multiplicado por
).
Para
: a expressão é
. Observe que
Portanto acrescento e subtraio
dentro do parêntese.
Fazendo isso explicitamente e recolocando os termos:
Mas
e
, logo os termos subtraídos juntos valem
. Reescrevendo de forma mais limpa, é mais prático observar que
Somando essas duas expressões e compensando os termos constantes originais, obtemos
Como
, temos
Passo 5
Isolo os quadrados e divido por
para chegar à forma padrão:
Comparando com
, reconhecemos:
Passo 6
Dica rápida para prova: se a equação vier na forma
, o centro é
e o raio é
. Aplicando essa fórmula após dividir por
dá o mesmo resultado aqui: centro
e raio
. Vai dar certo — respira e confia no processo!