Determine o centro e o raio do círculo de equação dada:
9 x^{2}+9 y^{2}-6 x+12 y-31=0

Passo 1

O enunciado dá a equação do círculo e pede o centro e o raio. A equação fornecida é:
9x^{2}+9y^{2}-6x+12y-31=0.
O que se pede:
  • determinar o centro (h,k) do círculo;
  • determinar o raio r do círculo.

Passo 2

Lembrete prático (fórmula que vamos usar): a forma padrão de um círculo com centro (h,k) e raio r é
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}.
Para colocar a equação dada nessa forma, vamos completar o quadrado nas variáveis x e y. Completar o quadrado significa transformar expressões do tipo x^{2}+bx em (x+\tfrac{b}{2})^{2} menos o ajuste necessário. Vou mostrar passo a passo.

Passo 3

Primeiro, agrupo os termos de x e de y e fatoro 9 para facilitar:
9x^{2}-6x+9y^{2}+12y-31=0 \quad\Longrightarrow\quad 9\bigl(x^{2}-\tfrac{2}{3}x\bigr)+9\bigl(y^{2}+\tfrac{4}{3}y\bigr)-31=0.

Passo 4

Agora completo o quadrado dentro de cada parêntese.
Para x: a expressão é x^{2}-\tfrac{2}{3}x. Para completar o quadrado, note que
\bigl(x-\tfrac{1}{3}\bigr)^{2}=x^{2}-\tfrac{2}{3}x+\tfrac{1}{9}.
Portanto acrescento e subtraio \tfrac{1}{9} dentro do parêntese (o efeito fora é multiplicado por 9).
Para y: a expressão é y^{2}+\tfrac{4}{3}y. Observe que
\bigl(y+\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}=y^{2}+\tfrac{4}{3}y+\tfrac{4}{9}.
Portanto acrescento e subtraio \tfrac{4}{9} dentro do parêntese.
Fazendo isso explicitamente e recolocando os termos:
9\bigl(x^{2}-\tfrac{2}{3}x+\tfrac{1}{9}\bigr)+9\bigl(y^{2}+\tfrac{4}{3}y+\tfrac{4}{9}\bigr)-31 -9\cdot\tfrac{1}{9}-9\cdot\tfrac{4}{9}=0.
Mas 9\cdot\tfrac{1}{9}=1 e 9\cdot\tfrac{4}{9}=4, logo os termos subtraídos juntos valem 1+4=5. Reescrevendo de forma mais limpa, é mais prático observar que
9\bigl(x-\tfrac{1}{3}\bigr)^{2}=9x^{2}-6x+1, \qquad 9\bigl(y+\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}=9y^{2}+12y+4.
Somando essas duas expressões e compensando os termos constantes originais, obtemos
9\bigl(x-\tfrac{1}{3}\bigr)^{2}+9\bigl(y+\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}-1-4-31=0.
Como -1-4-31=-36, temos
9\bigl(x-\tfrac{1}{3}\bigr)^{2}+9\bigl(y+\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}-36=0.

Passo 5

Isolo os quadrados e divido por 9 para chegar à forma padrão:
9\bigl(x-\tfrac{1}{3}\bigr)^{2}+9\bigl(y+\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}=36 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(x-\tfrac{1}{3}\bigr)^{2}+\bigl(y+\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}=4.
Comparando com (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}, reconhecemos:
h=\tfrac{1}{3},\qquad k=-\tfrac{2}{3},\qquad r^{2}=4\Rightarrow r=2.

Passo 6

Dica rápida para prova: se a equação vier na forma x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0, o centro é \bigl(-\tfrac{D}{2},-\tfrac{E}{2}\bigr) e o raio é \sqrt{\bigl(\tfrac{D}{2}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{E}{2}\bigr)^{2}-F}. Aplicando essa fórmula após dividir por 9 dá o mesmo resultado aqui: centro \bigl(\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3}\bigr) e raio 2. Vai dar certo — respira e confia no processo!

Resposta

\text{Centro }(\tfrac{1}{3}, -\tfrac{2}{3})
\text{Raio }2

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