Determine o centro, o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências. \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{10^{n}}(x-4)^{n}
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{10^{n}}(x-4)^{n}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Os coeficientes da série são a_n=\dfrac{n+1}{10^{n}}.
A série é escrita em potências de (x-4), ou seja, está centrada em x=4.
O que o enunciado pede:
Determinar o centro da série.
Determinar o raio de convergência.
Determinar o intervalo (real) de convergência.
Passo 2
Conceito útil (mini-aula): para uma série de potências da forma
\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n,
o raio de convergência R pode ser obtido por duas fórmulas equivalentes (quando o limite existe):
usando a raiz: R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}},
usando a razão: se \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L existe, então R=\frac{1}{L}.
Explicação intuitiva da razão: aplicar o teste da razão à série em x dá
Para convergência é necessário que esse limite seja <1, daí |x-c| < 1/L e R=1/L. Vou usar esse método porque o limite de a_{n+1}/a_n é fácil de calcular aqui.
Passo 3
Calcular a razão dos coeficientes a_{n+1}/a_n. Como a_n=\dfrac{n+1}{10^n}, temos
Observação (teste necessário): para que uma série \sum b_n convirja é necessário que b_n\to0 quando n\to\infty. Aqui b_n=(n+1)(-1)^n tem |b_n|=n+1\to\infty, ou seja os termos não tendem a zero, portanto a série diverge em x=-6.
Os termos são n+1 que tendem a infinito, logo não tendem a zero; a série diverge (é óbvio que a soma dos n+1 diverge). Portanto a série também diverge em x=14.
Passo 8
Conclusão final: o raio R=10, o centro c=4 e os extremos x=-6 e x=14 não pertencem à região de convergência, logo o intervalo de convergência é o intervalo aberto (-6,14).
Resposta
\text{Centro} = 4 \text{Raio de convergência} = 10ê \text{Intervalo de convergência} = (-6,14)ê