Determine o centro, o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{10^{n}}(x-4)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{10^{n}}(x-4)^{n}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os coeficientes da série são a_n=\dfrac{n+1}{10^{n}}.
  • A série é escrita em potências de (x-4), ou seja, está centrada em x=4.
    O que o enunciado pede:
  • Determinar o centro da série.
  • Determinar o raio de convergência.
  • Determinar o intervalo (real) de convergência.

Passo 2

Conceito útil (mini-aula): para uma série de potências da forma
\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n,
o raio de convergência R pode ser obtido por duas fórmulas equivalentes (quando o limite existe):
  • usando a raiz: R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}},
  • usando a razão: se \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L existe, então R=\frac{1}{L}.
Explicação intuitiva da razão: aplicar o teste da razão à série em x
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x-c)^{n+1}}{a_n (x-c)^n}\right| =|x-c|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
Para convergência é necessário que esse limite seja <1, daí |x-c| < 1/L e R=1/L. Vou usar esse método porque o limite de a_{n+1}/a_n é fácil de calcular aqui.

Passo 3

Calcular a razão dos coeficientes a_{n+1}/a_n. Como a_n=\dfrac{n+1}{10^n}, temos
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\dfrac{n+2}{10^{\,n+1}}}{\dfrac{n+1}{10^{n}}} =\frac{n+2}{10(n+1)} =\frac{1}{10}\cdot\frac{n+2}{n+1}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{1}{10}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n+1} =\frac{1}{10}\cdot 1 =\frac{1}{10}.
Pelo raciocínio do passo anterior, o raio de convergência é
R=\frac{1}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|} =\frac{1}{1/10}=10.

Passo 4

Reafirmando o centro: a série está em potências de (x-4), então o centro é
c=4.

Passo 5

Determinar o intervalo de convergência em \mathbb{R}: como R=10 e o centro é 4, a condição de convergência absoluta interior é
|x-4|<10,
ou seja o intervalo aberto
(4-10,\;4+10)=(-6,\;14).
Agora é obrigatório testar os extremos x=-6 e x=14.

Passo 6

Testar x=-6:
substituindo x=-6 na série obtém-se
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{10^{n}}(-6-4)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{10^{n}}(-10)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(-1)^{n}.
Observação (teste necessário): para que uma série \sum b_n convirja é necessário que b_n\to0 quando n\to\infty. Aqui b_n=(n+1)(-1)^n tem |b_n|=n+1\to\infty, ou seja os termos não tendem a zero, portanto a série diverge em x=-6.

Passo 7

Testar x=14:
substituindo x=14 obtém-se
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{10^{n}}(14-4)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{10^{n}}(10)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(n+1).
Os termos são n+1 que tendem a infinito, logo não tendem a zero; a série diverge (é óbvio que a soma dos n+1 diverge). Portanto a série também diverge em x=14.

Passo 8

Conclusão final: o raio R=10, o centro c=4 e os extremos x=-6 e x=14 não pertencem à região de convergência, logo o intervalo de convergência é o intervalo aberto (-6,14).

Resposta

\text{Centro} = 4
\text{Raio de convergência} = 10ê
\text{Intervalo de convergência} = (-6,14)ê

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