Determine o centro, o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}} \alpha^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}} \alpha^{n},
e pede:
  • determinar o centro da série;
  • determinar o raio de convergência;
  • determinar o intervalo (no caso real) de convergência.
Informações relevantes fornecidas:
  • os coeficientes são a_n=\dfrac{n^{2}}{2^{n}} para n\ge0;
  • a variável da série é \alpha;
  • a série está escrita na forma \sum_{n=0}^{\infty} a_n \alpha^n.

Passo 2

O que é centro e raio de convergência (explicação didática):
  • O centro de uma série de potências \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-c)^n é o ponto c em torno do qual a série está expandida. Aqui a série está em potências de \alpha^n, ou seja, está na forma \sum a_n(\alpha-0)^n; por isso o centro será 0 (mais adiante confirmaremos).
  • O raio de convergência R é um número tal que a série converge para todos \alpha com |\alpha-c|<R e diverge para todos \alpha com |\alpha-c|>R. No caso real, o intervalo de convergência será o intervalo (c-R,c+R), possivelmente incluindo um ou ambos os extremos (que precisam ser testados separadamente).
  • Fórmula prática: para uma série \sum a_n (z-c)^n pode-se usar
    • a regra da razão: se existe \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|, então R=\dfrac{1}{L} (com a convensão R=\infty se L=0 e R=0 se L=\infty);
    • ou a fórmula com limsup: \displaystyle R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
      Vou usar a regra da razão porque aqui os coeficientes têm fator 2^{-n} e o quociente a_{n+1}/a_n fica simples. Também mencionarei a verificação pelo teste da raiz como confirmação.

Passo 3

Aplicando a regra da razão aos coeficientes a_n=\dfrac{n^{2}}{2^{n}}.
Calculemos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{\dfrac{(n+1)^{2}}{2^{\,n+1}}}{\dfrac{n^{2}}{2^{n}}} = \frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\cdot\frac{1}{2}.
Observando o fator \dfrac{(n+1)^{2}}{n^{2}}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2}, temos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}\cdot\frac{1}{2} = 1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Da regra da razão, com L=\dfrac{1}{2}, o raio de convergência é
R=\frac{1}{L}=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=2.
Comentário didático: isso significa que a série converge para todos os \alpha com |\alpha|<2 e diverge para todos os \alpha com |\alpha|>2. O círculo/intervalo limite |\alpha|=2 precisa ser testado separadamente.

Passo 5

Verificação rápida pelo teste da raiz (confirmação):
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\frac{n^{2}}{2^{n}}}=\frac{n^{2/n}}{2}.
Como \lim_{n\to\infty} n^{2/n}=1, obtemos \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\dfrac{1}{2}, e portanto
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=\frac{1}{1/2}=2,
o que confirma o resultado do passo anterior.

Passo 6

Determinar o centro:
  • A série está na forma \sum a_n \alpha^n=\sum a_n(\alpha-0)^n, portanto o centro é \;0\;.
    Explicação: o centro é o ponto em torno do qual a variável aparece como (\alpha-c)^n; aqui c=0.

Passo 7

Intervalo de convergência e testes dos extremos \alpha=\pm 2:
  • Para \alpha=2 a série torna-se \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}} \cdot 2^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} n^{2}.Essa série diverge porque os termos n^{2} não tendem a zero (condição necessária para convergência de uma série é que o termo geral tenda a zero); portanto diverge.
  • Para \alpha=-2 a série torna-se \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}} \cdot (-2)^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} n^{2}(-1)^{n}.Novamente os termos têm módulo n^{2}, que não tende a zero, logo a série também diverge (nem a alternância salva: é necessário que os termos em módulo tendam a zero para que um teste de Leibniz pudesse ser aplicado).
Conclusão: ambos os extremos \alpha=2 e \alpha=-2 estão fora da região de convergência, então o intervalo real de convergência é o intervalo aberto (-2,2).

Resposta

Centro: 0
Raio de convergência: 2
Intervalo de convergência (real): (-2,2)

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