Determine o centro, o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+4} x^{n}

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que ele nos dá.
  • O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+4}x^{n}.
  • Perguntas a responder:
    1. Determinar o centro da série.
    2. Determinar o raio de convergência.
    3. Determinar o intervalo de convergência (ou seja, para quais x\in\mathbb{R} a série converge), cuidando dos pontos finais.
Informações relevantes do enunciado:
  • Os coeficientes da potência são a_n=\dfrac{1}{n+4}.
  • A potência está escrita como x^{n}, ou seja, está centrada em 0 (é uma série em potências de x-0).
A partir daqui, vamos aplicar os testes padrão para séries de potências e examinar os extremos x=\pm 1.

Passo 2

O que é o centro e como identificá-lo (uma mini-aula rápida)?
  • Uma série de potências tem forma geral
\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n,
onde c é o centro. Aqui a série está na forma \sum a_n x^n, que equivale a \sum a_n (x-0)^n. Portanto o centro é o valor de x em torno do qual a série é escrita.
Aplicando isso ao nosso caso:
  • Como a série é \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n+4}x^{n}, o centro é c=0.

Passo 3

Como calcular o raio de convergência (conceito e fórmula)?
  • Para uma série de potências \sum a_n (x-c)^n, o raio de convergência R pode ser obtido por
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
  • Outra forma prática é usar o teste da razão: se \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| existe e é L, então R=1/L.
No nosso caso a_n=\dfrac{1}{n+4}. Vou usar o teste da razão porque é direto.
Calcule a razão dos coeficientes:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{\frac{1}{n+5}}{\frac{1}{n+4}} = \frac{n+4}{n+5}.
Agora o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n+4}{n+5}=1.
Logo, pelo teste da razão, L=1 e
R=\frac{1}{L}=1.
Também é útil entender intuitivamente: os coeficientes a_n decrescem como 1/n, e sequências a_n com decaimento polinomial tipicamente dão raio 1 quando o termo da potência é x^n.

Passo 4

Resumo parcial e interpretação
  • Centro: c=0.
  • Raio de convergência: R=1.
Isto significa que a série converge absolutamente para |x|<1 e diverge para |x|>1. Precisamos ainda analisar os pontos na fronteira |x|=1, ou seja x=1 e x=-1.

Passo 5

Analisar x=1.
  • Substituindo x=1 na série obtemos a série numérica
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+4}.
  • Esta é uma série do tipo harmônico deslocada. Para ver se diverge, fazemos comparação com a série harmônica \sum \dfrac{1}{n}.
Use o teste da comparação (ou limite de comparação). Calcule
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n+4}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+4}=1.
Como \sum \dfrac{1}{n} diverge (serie harmônica), e o quociente tende a uma constante positiva, a série \sum \dfrac{1}{n+4} também diverge. Portanto a série diverge em x=1.

Passo 6

Analisar x=-1.
  • Substituindo x=-1 obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+4}.
  • Esta é uma série alternada com termos de módulo b_n=\dfrac{1}{n+4}.
Aplicando o critério de Leibniz (teste da série alternada):
  • É necessário que b_n\ge0, b_{n+1}\le b_n (sequência monótona não crescente) e \lim_{n\to\infty} b_n = 0.
  • Aqui b_n=\dfrac{1}{n+4} é positiva, tende a 0 quando n\to\infty e é monotonicamente decrescente porque n\mapsto n+4 cresce, logo 1/(n+4) decresce. Formalmente, para n\ge0,
\frac{1}{n+5}<\frac{1}{n+4},
então a monotonicidade está garantida.
Portanto, pela regra de Leibniz, a série \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n+4} converge.
  • Observação sobre convergência absoluta: a soma dos módulos seria \sum \dfrac{1}{n+4} que já vimos divergir; logo a convergência em x=-1 é condicional (não é absoluta).

Passo 7

Conclusão final sobre o intervalo de convergência
  • A série converge absolutamente para |x|<1.
  • Diverge para |x|>1.
  • No limite x=1 diverge.
  • No limite x=-1 converge (condicionalmente).
Portanto o intervalo de convergência real é \,[-1,1).

Resposta

Centro: 0
Raio de convergência: 1
Intervalo de convergência: [-1,1)

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