Determine o centro, o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências. \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+4} x^{n}
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que ele nos dá.
O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+4}x^{n}.
Perguntas a responder:
Determinar o centro da série.
Determinar o raio de convergência.
Determinar o intervalo de convergência (ou seja, para quais x\in\mathbb{R} a série converge), cuidando dos pontos finais.
Informações relevantes do enunciado:
Os coeficientes da potência são a_n=\dfrac{1}{n+4}.
A potência está escrita como x^{n}, ou seja, está centrada em 0 (é uma série em potências de x-0).
A partir daqui, vamos aplicar os testes padrão para séries de potências e examinar os extremos x=\pm 1.
Passo 2
O que é o centro e como identificá-lo (uma mini-aula rápida)?
Uma série de potências tem forma geral
\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n,
onde c é o centro. Aqui a série está na forma \sum a_n x^n, que equivale a \sum a_n (x-0)^n. Portanto o centro é o valor de x em torno do qual a série é escrita.
Aplicando isso ao nosso caso:
Como a série é \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n+4}x^{n}, o centro é c=0.
Passo 3
Como calcular o raio de convergência (conceito e fórmula)?
Para uma série de potências \sum a_n (x-c)^n, o raio de convergência R pode ser obtido por
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Outra forma prática é usar o teste da razão: se \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| existe e é L, então R=1/L.
No nosso caso a_n=\dfrac{1}{n+4}. Vou usar o teste da razão porque é direto.
Também é útil entender intuitivamente: os coeficientes a_n decrescem como 1/n, e sequências a_n com decaimento polinomial tipicamente dão raio 1 quando o termo da potência é x^n.
Passo 4
Resumo parcial e interpretação
Centro: c=0.
Raio de convergência: R=1.
Isto significa que a série converge absolutamente para |x|<1 e diverge para |x|>1. Precisamos ainda analisar os pontos na fronteira |x|=1, ou seja x=1 e x=-1.
Passo 5
Analisar x=1.
Substituindo x=1 na série obtemos a série numérica
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+4}.
Esta é uma série do tipo harmônico deslocada. Para ver se diverge, fazemos comparação com a série harmônica \sum \dfrac{1}{n}.
Use o teste da comparação (ou limite de comparação). Calcule
Como \sum \dfrac{1}{n} diverge (serie harmônica), e o quociente tende a uma constante positiva, a série \sum \dfrac{1}{n+4} também diverge. Portanto a série diverge em x=1.
Passo 6
Analisar x=-1.
Substituindo x=-1 obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+4}.
Esta é uma série alternada com termos de módulo b_n=\dfrac{1}{n+4}.
Aplicando o critério de Leibniz (teste da série alternada):
É necessário que b_n\ge0, b_{n+1}\le b_n (sequência monótona não crescente) e \lim_{n\to\infty} b_n = 0.
Aqui b_n=\dfrac{1}{n+4} é positiva, tende a 0 quando n\to\infty e é monotonicamente decrescente porque n\mapsto n+4 cresce, logo 1/(n+4) decresce. Formalmente, para n\ge0,
\frac{1}{n+5}<\frac{1}{n+4},
então a monotonicidade está garantida.
Portanto, pela regra de Leibniz, a série \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n+4} converge.
Observação sobre convergência absoluta: a soma dos módulos seria \sum \dfrac{1}{n+4} que já vimos divergir; logo a convergência em x=-1 é condicional (não é absoluta).
Passo 7
Conclusão final sobre o intervalo de convergência
A série converge absolutamente para |x|<1.
Diverge para |x|>1.
No limite x=1 diverge.
No limite x=-1 converge (condicionalmente).
Portanto o intervalo de convergência real é \,[-1,1).
Resposta
Centro: 0
Raio de convergência: 1
Intervalo de convergência: [-1,1)