Determine o centro, o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{(2 n)!} x^{2 n}

Passo 1

O enunciado fornece a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{(2 n)!} x^{2 n}.
O que é pedido:
  • Determinar o centro da série.
  • Determinar o raio de convergência.
  • Determinar o intervalo (conjunto) de convergência.
Informações relevantes dadas:
  • Os termos têm somente potências pares de x: aparecem x^{2n}.
  • Os coeficientes são \dfrac{2^{n}}{(2n)!}.

Passo 2

O que significa cada pedido (explicação didática e curta):
  • Centro: é o valor c tal que a série está escrita em potências de x-c. Aqui procuramos c tal que os termos sejam (x-c)^{k}.
  • Raio de convergência R: é um número (possivelmente +\infty) tal que a série converge absolutamente para todos x com |x-c|<R e diverge para |x-c|>R. Uma forma prática de encontrar R é usar o teste da razão (ou o teste da raiz) aplicado aos termos da série.
  • Intervalo de convergência: o conjunto real de x para os quais a série converge (no caso de c=0 e R finito, costuma ser (c-R,c+R) possivelmente incluindo as extremidades).
Vou usar o teste da razão porque os termos envolvem fatoriais, e o teste da razão lida bem com fatoriais (é simples de aplicar e dá um limite explícito).

Passo 3

Escrevendo o termo geral (índice n) da série:
a_n(x)=\frac{2^{n}}{(2n)!}x^{2n}.
O teste da razão pede que calculemos o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right|.
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 4

Calcular a razão \dfrac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}. Substituindo:
\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)} = \frac{\dfrac{2^{n+1}}{(2(n+1))!}x^{2(n+1)}}{\dfrac{2^{n}}{(2n)!}x^{2n}} = \frac{2^{n+1}}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{2^{n}} \cdot x^{2}.
Simplificando a potência de 2:
\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)} = 2\,x^{2}\,\frac{(2n)!}{(2n+2)!}.

Passo 5

Simplificar o quociente de fatoriais:
\frac{(2n)!}{(2n+2)!}=\frac{1}{(2n+2)(2n+1)}.
Portanto
\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right| = \frac{2|x|^{2}}{(2n+2)(2n+1)}.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{2|x|^{2}}{(2n+2)(2n+1)}.
Como o denominador cresce como 4n^{2}, o limite é
L=0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 7

Interpretação do resultado do teste da razão:
  • Como L=0<1 para todo x, a série converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}.
  • Portanto o raio de convergência é infinito:
R=\infty.

Passo 8

Determinar o centro:
  • A série está escrita em potências de x (ou seja, de (x-0)). Logo o centro é
\text{centro }=0.

Passo 9

Determinar o intervalo (conjunto) de convergência:
  • Com R=\infty e centro 0, a série converge para todos os reais, isto é o intervalo de convergência é
(-\infty,\infty).
Também vale dizer que a convergência é absoluta em todo esse intervalo.

Passo 10

Observação útil (opcional, para fixar a intuição): a série é uma forma da série de \operatorname{cosh}. Lembrando que
\operatorname{cosh} t=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{2n}}{(2n)!},
basta tomar t=\sqrt{2}\,x para obter
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{(2n)!}x^{2n}=\operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr),
o que também confirma que a soma é bem definida para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

Centro: 0
Raio de convergência: R=\infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)

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