Determine o centro, o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências. \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{(2 n)!} x^{2 n}
Passo 1
O enunciado fornece a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{(2 n)!} x^{2 n}.
O que é pedido:
Determinar o centro da série.
Determinar o raio de convergência.
Determinar o intervalo (conjunto) de convergência.
Informações relevantes dadas:
Os termos têm somente potências pares de x: aparecem x^{2n}.
Os coeficientes são \dfrac{2^{n}}{(2n)!}.
Passo 2
O que significa cada pedido (explicação didática e curta):
Centro: é o valor c tal que a série está escrita em potências de x-c. Aqui procuramos c tal que os termos sejam (x-c)^{k}.
Raio de convergência R: é um número (possivelmente +\infty) tal que a série converge absolutamente para todos x com |x-c|<R e diverge para |x-c|>R. Uma forma prática de encontrar R é usar o teste da razão (ou o teste da raiz) aplicado aos termos da série.
Intervalo de convergência: o conjunto real de x para os quais a série converge (no caso de c=0 e R finito, costuma ser (c-R,c+R) possivelmente incluindo as extremidades).
Vou usar o teste da razão porque os termos envolvem fatoriais, e o teste da razão lida bem com fatoriais (é simples de aplicar e dá um limite explícito).