Determine o centro, o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências. \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{3 n+4}}(3 x+4)^{n}
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a série de potências
Explicação breve: o centro de uma série de potências é o valor de x que zera o fator que está sendo elevado a n. Aqui 3x+4=0 quando x=-\tfrac{4}{3}, logo esse é o centro.
Passo 3
Agora encontramos o raio de convergência. É mais fácil trabalhar com a variável auxiliar
y=3x+4.
A série fica \sum_{n=0}^{\infty} a_n y^n com a_n=\dfrac{1}{\sqrt{3n+4}}. Para uma série \sum a_n y^n o raio em y é dado por
R_y = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Vamos calcular \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}. Como a_n>0,
portanto as duas séries têm o mesmo comportamento: como \sum 1/\sqrt{n} diverge, então \sum 1/\sqrt{3n+4} também diverge. Conclusão: a série diverge em x=-1 (extremo direito não incluído).
Passo 7
Testar o extremo x=-\tfrac{5}{3}. Para x=-\tfrac{5}{3} temos y=3(-\tfrac{5}{3})+4=-1. A série torna-se
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{3n+4}}.
É uma série alternada com termos positivos b_n=\dfrac{1}{\sqrt{3n+4}}. Aplicamos o teste de Leibniz (critério das séries alternadas): se b_n é monótona decrescente e \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então a série alternada converge. Verificações:
\lim_{n\to\infty} b_n = 0 porque b_n\sim C/\sqrt{n}.
b_n é decrescente: a função f(t)=(3t+4)^{-1/2} é decrescente para t\ge0, logo a sequência b_n=f(n) também é decrescente para n suficientemente grande; pode-se checar diretamente que b_{n+1}<b_n para todo n\ge0. Então as condições do critério são satisfeitas.
Portanto a série converge em x=-\tfrac{5}{3}. Mas não converge absolutamente, pois \sum |(-1)^n/\sqrt{3n+4}|=\sum 1/\sqrt{3n+4} diverge (já visto). Logo a convergência no extremo esquerdo é condicional.
Passo 8
Conclusão final combinando tudo:
Centro: x_0=-\tfrac{4}{3}.
Raio de convergência: R=\tfrac{1}{3}.
Intervalo de convergência real: incluir o extremo esquerdo x=-\tfrac{5}{3} (convergência condicional) e excluir o extremo direito x=-1 (diverge). Assim o intervalo é
\bigl[-\tfrac{5}{3},\; -1\bigr).
Resposta
Centro: -\tfrac{4}{3}
Raio de convergência: \tfrac{1}{3}
Intervalo de convergência: \bigl[-\tfrac{5}{3},\; -1\bigr)