Determine o centro, o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{3 n+4}}(3 x+4)^{n}

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{3 n+4}}(3 x+4)^{n}.
As perguntas são:
  • Qual é o centro da série?
  • Qual é o raio de convergência?
  • Qual o intervalo de convergência (em \mathbb{R}, identificando se os extremos estão incluídos ou não)?
Informações fornecidas diretamente no enunciado:
  • Os coeficientes são a_n=\dfrac{1}{\sqrt{3n+4}}.
  • A potência é em 3x+4, ou seja a série tem termo geral a_n(3x+4)^n.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar a série na forma padrão em torno de um centro x_0, isto é, em potências de (x-x_0)^n. Note que
3x+4 = 3\left(x + \tfrac{4}{3}\right) = 3\bigl(x - (-\tfrac{4}{3})\bigr).
Da forma (x-x_0) fica claro que o centro é
x_0 = -\tfrac{4}{3}.
Explicação breve: o centro de uma série de potências é o valor de x que zera o fator que está sendo elevado a n. Aqui 3x+4=0 quando x=-\tfrac{4}{3}, logo esse é o centro.

Passo 3

Agora encontramos o raio de convergência. É mais fácil trabalhar com a variável auxiliar
y=3x+4.
A série fica \sum_{n=0}^{\infty} a_n y^n com a_n=\dfrac{1}{\sqrt{3n+4}}. Para uma série \sum a_n y^n o raio em y é dado por
R_y = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Vamos calcular \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}. Como a_n>0,
|a_n|^{1/n} = \bigl(3n+4\bigr)^{-1/(2n)}.
Tomando logaritmo e limite:
\ln\bigl((3n+4)^{-1/(2n)}\bigr) = -\frac{1}{2n}\ln(3n+4) \xrightarrow[n\to\infty]{} 0,
pois \ln(3n+4)=o(n). Portanto
\lim_{n\to\infty} (3n+4)^{-1/(2n)} = e^{0}=1.
Assim \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}=1 e
R_y = \frac{1}{1}=1.

Passo 4

Traduzir o raio em y para raio em x. A condição de convergência em y é |y|<1, ou seja
|3x+4|<1.
Isto é equivalente a
\bigl|x - (-\tfrac{4}{3})\bigr| < \frac{1}{3},
porque |3(x+4/3)|<1 \iff |x+4/3|<1/3. Portanto o raio em x é
R_x = \frac{1}{3}.
Explicação conceitual: multiplicar a variável por 3 “encolhe” o raio por um fator 3, logo R_x=R_y/|3|=1/3.

Passo 5

Determinar o intervalo de convergência (a parte aberta). Resolver |3x+4|<1:
-1 < 3x+4 < 1 \quad\Rightarrow\quad -5 < 3x < -3 \quad\Rightarrow\quad -\tfrac{5}{3} < x < -1.
Portanto, a série converge para x em \bigl(-\tfrac{5}{3}, -1\bigr). Agora precisamos testar os pontos extremos x=-\tfrac{5}{3} e x=-1.

Passo 6

Testar o extremo x=-1. Para x=-1 temos y=3(-1)+4=1. A série vira
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{3n+4}}.
Compare com a série \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}} (uma p-série com p=\tfrac{1}{2}, que diverge). Use o limite de comparação:
\lim_{n\to\infty} \frac{1/\sqrt{3n+4}}{1/\sqrt{n}}=\lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{n}{3n+4}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \neq 0,
portanto as duas séries têm o mesmo comportamento: como \sum 1/\sqrt{n} diverge, então \sum 1/\sqrt{3n+4} também diverge. Conclusão: a série diverge em x=-1 (extremo direito não incluído).

Passo 7

Testar o extremo x=-\tfrac{5}{3}. Para x=-\tfrac{5}{3} temos y=3(-\tfrac{5}{3})+4=-1. A série torna-se
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{3n+4}}.
É uma série alternada com termos positivos b_n=\dfrac{1}{\sqrt{3n+4}}. Aplicamos o teste de Leibniz (critério das séries alternadas): se b_n é monótona decrescente e \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então a série alternada converge. Verificações:
  • \lim_{n\to\infty} b_n = 0 porque b_n\sim C/\sqrt{n}.
  • b_n é decrescente: a função f(t)=(3t+4)^{-1/2} é decrescente para t\ge0, logo a sequência b_n=f(n) também é decrescente para n suficientemente grande; pode-se checar diretamente que b_{n+1}<b_n para todo n\ge0. Então as condições do critério são satisfeitas.
    Portanto a série converge em x=-\tfrac{5}{3}. Mas não converge absolutamente, pois \sum |(-1)^n/\sqrt{3n+4}|=\sum 1/\sqrt{3n+4} diverge (já visto). Logo a convergência no extremo esquerdo é condicional.

Passo 8

Conclusão final combinando tudo:
  • Centro: x_0=-\tfrac{4}{3}.
  • Raio de convergência: R=\tfrac{1}{3}.
  • Intervalo de convergência real: incluir o extremo esquerdo x=-\tfrac{5}{3} (convergência condicional) e excluir o extremo direito x=-1 (diverge). Assim o intervalo é
\bigl[-\tfrac{5}{3},\; -1\bigr).

Resposta

Centro: -\tfrac{4}{3}
Raio de convergência: \tfrac{1}{3}
Intervalo de convergência: \bigl[-\tfrac{5}{3},\; -1\bigr)

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