Determine o centro, o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 5^{n}}(x-5)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n5^{n}}(x-5)^{n}
e pede três coisas:
  • determinar o centro da série;
  • determinar o raio de convergência;
  • determinar o intervalo de convergência (ou seja, quais valores reais de x fazem a série convergir).
Informações relevantes que já estão no enunciado:
  • cada termo tem a forma \dfrac{1}{n5^{n}}(x-5)^{n};
  • a potência aparece em (x-5)^{n}, o que sugere imediatamente um centro em x=5 (mas isso será explicitado nos próximos passos).

Passo 2

Identificar os coeficientes da série e escolher um teste para o raio.
Para uma série de potências em torno de x_0 escrita genericamente como
\sum_{n=1}^{\infty} a_n (x-x_0)^n,
o centro é x_0 e o raio de convergência R pode ser calculado por um dos testes padrões (teste da razão ou teste da raiz). Aqui é natural usar o teste da razão, porque os coeficientes a_n são fáceis de relacionar em termos de n.
No nosso caso,
a_n = \frac{1}{n5^{n}}\qquad\text{e}\qquad x_0=5.
Breve explicação do teste da razão: se para os coeficientes a_n existe o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,
então o raio de convergência é R=\dfrac{1}{L} (com a convenção R=\infty se L=0 e R=0 se L=\infty). A razão vem do fato de que a série de potências se comporta como uma série geométrica assintoticamente.

Passo 3

Aplicar o teste da razão aos coeficientes a_n=\dfrac{1}{n5^{n}}.
Calcular a razão:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{\dfrac{1}{(n+1)5^{\,n+1}}}{\dfrac{1}{n5^{n}}} = \frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{5}.
Agora tomar o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{5}.

Passo 4

Determinar o raio de convergência a partir de L.
Pelo passo anterior, L=\dfrac{1}{5}. Pelo teste da razão:
R=\frac{1}{L}= \frac{1}{1/5}=5.
Também já identificado antes, o centro é x_0=5. Portanto a região de convergência absoluta é |x-5|<5, isto é o intervalo aberto
(5-5,\;5+5)=(0,10).

Passo 5

Testar a convergência nos extremos x=0 e x=10.
Primeiro, explicar: o raio dá a convergência absoluta no interior |x-5|<5. Nas extremidades |x-5|=5 a convergência é incerta e precisa ser verificada ponto a ponto.
Substituir x=0 e x=10 na série.

Passo 6

Analisar x=0.
Se x=0 então x-5=-5. Substituindo na série obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n5^{n}}(-5)^{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n},
porque (-5)^n/5^n = (-1)^n.
Esta série é a série harmônica alternada
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n},
que converge pelo Teste de Leibniz (teste da série alternada). Explicando o teste de Leibniz: se (b_n) é uma sequência positiva, decrescente e com \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então \sum (-1)^n b_n converge. Aqui b_n=1/n é positiva, decrescente e tende a 0, então a série converge.
Observação sobre convergência absoluta: tomar valores absolutos dá \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}, que diverge (série harmônica). Logo a convergência em x=0 é condicional, não absoluta.

Passo 7

Analisar x=10.
Se x=10 então x-5=5. Substituindo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n5^{n}} 5^{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n},
que é a série harmônica conhecida e diverge. Portanto a série diverge em x=10.

Passo 8

Conclusão final sobre o intervalo de convergência.
Combinando os resultados:
  • a série converge para todos x com |x-5|<5 (convergência absoluta);
  • em x=0 ( |x-5|=5 à esquerda) converge condicionalmente;
  • em x=10 ( |x-5|=5 à direita) diverge.
Portanto o intervalo de convergência real é [0,10).

Resposta

Centro: 5
Raio de convergência: 5
Intervalo de convergência: [0,10)

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