Determine o centro, o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 5^{n}}(x-5)^{n}
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n5^{n}}(x-5)^{n}
e pede três coisas:
determinar o centro da série;
determinar o raio de convergência;
determinar o intervalo de convergência (ou seja, quais valores reais de x fazem a série convergir).
Informações relevantes que já estão no enunciado:
cada termo tem a forma \dfrac{1}{n5^{n}}(x-5)^{n};
a potência aparece em (x-5)^{n}, o que sugere imediatamente um centro em x=5 (mas isso será explicitado nos próximos passos).
Passo 2
Identificar os coeficientes da série e escolher um teste para o raio.
Para uma série de potências em torno de x_0 escrita genericamente como
\sum_{n=1}^{\infty} a_n (x-x_0)^n,
o centro é x_0 e o raio de convergência R pode ser calculado por um dos testes padrões (teste da razão ou teste da raiz). Aqui é natural usar o teste da razão, porque os coeficientes a_n são fáceis de relacionar em termos de n.
No nosso caso,
a_n = \frac{1}{n5^{n}}\qquad\text{e}\qquad x_0=5.
Breve explicação do teste da razão: se para os coeficientes a_n existe o limite
então o raio de convergência é R=\dfrac{1}{L} (com a convenção R=\infty se L=0 e R=0 se L=\infty). A razão vem do fato de que a série de potências se comporta como uma série geométrica assintoticamente.
Passo 3
Aplicar o teste da razão aos coeficientes a_n=\dfrac{1}{n5^{n}}.
Pelo passo anterior, L=\dfrac{1}{5}. Pelo teste da razão:
R=\frac{1}{L}= \frac{1}{1/5}=5.
Também já identificado antes, o centro é x_0=5. Portanto a região de convergência absoluta é |x-5|<5, isto é o intervalo aberto
(5-5,\;5+5)=(0,10).
Passo 5
Testar a convergência nos extremos x=0 e x=10.
Primeiro, explicar: o raio dá a convergência absoluta no interior |x-5|<5. Nas extremidades |x-5|=5 a convergência é incerta e precisa ser verificada ponto a ponto.
Substituir x=0 e x=10 na série.
Passo 6
Analisar x=0.
Se x=0 então x-5=-5. Substituindo na série obtemos
que converge pelo Teste de Leibniz (teste da série alternada). Explicando o teste de Leibniz: se (b_n) é uma sequência positiva, decrescente e com \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então \sum (-1)^n b_n converge. Aqui b_n=1/n é positiva, decrescente e tende a 0, então a série converge.
Observação sobre convergência absoluta: tomar valores absolutos dá \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}, que diverge (série harmônica). Logo a convergência em x=0 é condicional, não absoluta.