Determine f circ g, g circ f e encontre o domínio:
f(x)=|x| ; g(x)=|x+2|

Passo 1

O exercício pede para determinar as composições fcirc g e gcirc f e seus domínios. O conteúdo aqui é composição de funções e domínio. Vamos precisar da definição de composição, que é (fcirc g)(x)=f(g(x)), e das propriedades do valor absoluto.

Passo 2

Para achar fcirc g, usamos a definição: (fcirc g)(x)=f(g(x)). Como g(x)=|x+2|, temos f(g(x))=|,g(x),|=l|,|x+2|,r|. Mas o valor absoluto de um valor já absoluto é ele mesmo, então concluímos (fcirc g)(x)=|x+2|.
O domínio de fcirc g é o conjunto de x tais que x está no domínio de g e g(x) está no domínio de f. Como ambos f e g têm domínio R, o domínio de fcirc g também é R.

Passo 3

Para gcirc f, aplicamos (gcirc f)(x)=g(f(x)). Como f(x)=|x|, obtemos g(f(x))=|,f(x)+2|=l|,|x|+2r|. Aqui |x| já é não-negativo, então |x|+2>=2 e seu valor absoluto é ele mesmo. Logo (gcirc f)(x)=|x|+2.
O domínio de gcirc f é o conjunto de x em que x está no domínio de f e f(x) está no domínio de g. De novo, ambos têm domínio R, então o domínio de gcirc f é R.

Resposta

(fcirc g)(x)=|x+2|,;dom(fcirc g)=R;(gcirc f)(x)=|x|+2,;dom(gcirc f)=R

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