Determine
e
, indicando o domínio e a imagem das mesmas.
Passo 1
O enunciado dá duas funções:
Pede para determinar as composições
,
,
e
, e indicar domínio e imagem de cada uma.
Informações relevantes que já temos (tudo veio do enunciado):
- Ambas são polinômios, logo estão definidas para todos os reais.
- Domínio de
é . - Domínio de
é .
Passo 2
O que é composição de funções e como pensar no domínio/imagem:
- A composição
é a função definida por : primeiro aplica-se em , depois aplica-se ao resultado. - Como domínio: se
tem domínio e tem domínio , então o domínio de é o conjunto de tais que . - Aqui
e , portanto qualquer composição será definida em todo (não há restrições). - Para imagem de uma composição, é útil encontrar a expressão explícita e, quando for um polinômio de grau 2, usar vértice/completar quadrado para achar mínimo (ou máximo) quando necessário. Quando a imagem do interior de uma composição for contida num intervalo onde a função externa é monotona, isso facilita achar o mínimo/valor extremo.
Passo 3
Definição:
Substituindo
em
:
Simplificando:
Fatorando (opcional, mas útil para entender forma):
Domínio: como já explicado, domínio é
.
Imagem: é um polinômio quadrático com coeficiente principal positivo (
), logo tem mínimo global. A abscissa do vértice vale
Valor mínimo:
Portanto a imagem é
.
Passo 4
Definição:
Substituindo
em
:
Expandindo e simplificando passo a passo:
somando:
Domínio:
.
Imagem: é outra quadrática com
. Vértice em
Valor mínimo:
Como o discriminante é negativo (
), a parábola não cruza o eixo
e o mínimo é
. Logo a imagem é
.
Passo 5
Definição:
Como
, temos:
Domínio:
.
Imagem:
é uma função afim de coeficiente não nulo, portanto varia por toda a reta; imagem é
.
Passo 6
Definição e notação intermediária: seja
. Então
Podemos expandir, mas para imagem é mais econômico raciocinar com o intervalo imagem de
:
- Primeiro, achar imagem de
: completar quadrado
logo
para todo
. Assim
.
- Agora considere
como função em . A derivada é
que é positiva quando
. Como todos os valores
satisfazem
, a função
é estritamente crescente no intervalo
. Portanto o menor valor de
ocorre quando
assume seu menor valor
.
- Logo a imagem de
é . Calcule:
Portanto
.
Se for interessante ter a expressão expandida, temos também
Domínio:
.