Determine f \circ g, g \circ f, f \circ f e g \circ g, indicando o domínio e a imagem das mesmas.
f(x)=x-2, \quad g(x)=x^{2}+3 x+4

Passo 1

O enunciado dá duas funções:
f(x)=x-2,\qquad g(x)=x^{2}+3x+4.
Pede para determinar as composições f\circ g, g\circ f, f\circ f e g\circ g, e indicar domínio e imagem de cada uma.
Informações relevantes que já temos (tudo veio do enunciado):
  • Ambas são polinômios, logo estão definidas para todos os reais.
  • Domínio de f é \mathbb{R}.
  • Domínio de g é \mathbb{R}.

Passo 2

O que é composição de funções e como pensar no domínio/imagem:
  • A composição f\circ g é a função definida por (f\circ g)(x)=f(g(x)): primeiro aplica-se g em x, depois aplica-se f ao resultado.
  • Como domínio: se g tem domínio D_g e f tem domínio D_f, então o domínio de f\circ g é o conjunto de x\in D_g tais que g(x)\in D_f.
  • Aqui D_f=\mathbb{R} e D_g=\mathbb{R}, portanto qualquer composição será definida em todo \mathbb{R} (não há restrições).
  • Para imagem de uma composição, é útil encontrar a expressão explícita e, quando for um polinômio de grau 2, usar vértice/completar quadrado para achar mínimo (ou máximo) quando necessário. Quando a imagem do interior de uma composição for contida num intervalo onde a função externa é monotona, isso facilita achar o mínimo/valor extremo.

Passo 3

Definição:
(f\circ g)(x)=f(g(x)).
Substituindo g(x) em f:
(f\circ g)(x)=g(x)-2 = \bigl(x^{2}+3x+4\bigr)-2.
Simplificando:
(f\circ g)(x)=x^{2}+3x+2.
Fatorando (opcional, mas útil para entender forma):
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).
Domínio: como já explicado, domínio é \mathbb{R}.
Imagem: é um polinômio quadrático com coeficiente principal positivo ( a=1>0), logo tem mínimo global. A abscissa do vértice vale
x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}.
Valor mínimo:
(f\circ g)(x_v)=\left(-\tfrac{3}{2}\right)^{2}+3\left(-\tfrac{3}{2}\right)+2=\tfrac{9}{4}-\tfrac{9}{2}+2=\tfrac{9-18+8}{4}=-\tfrac{1}{4}.
Portanto a imagem é \left[-\tfrac{1}{4},\infty\right).

Passo 4

Definição:
(g\circ f)(x)=g(f(x)).
Substituindo f(x)=x-2 em g:
(g\circ f)(x)=(x-2)^{2}+3(x-2)+4.
Expandindo e simplificando passo a passo:
(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4,
3(x-2)=3x-6,
somando:
(g\circ f)(x)=x^{2}-4x+4+3x-6+4 = x^{2}-x+2.
Domínio: \mathbb{R}.
Imagem: é outra quadrática com a=1>0. Vértice em
x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2}=\tfrac{1}{2}.
Valor mínimo:
(g\circ f)\left(\tfrac{1}{2}\right)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\tfrac{1}{2}+2=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}+2=\tfrac{7}{4}.
Como o discriminante é negativo ( \Delta=(-1)^{2}-4\cdot1\cdot2=-7), a parábola não cruza o eixo x e o mínimo é \tfrac{7}{4}. Logo a imagem é \left[\tfrac{7}{4},\infty\right).

Passo 5

Definição:
(f\circ f)(x)=f(f(x))=f(x)-2.
Como f(x)=x-2, temos:
(f\circ f)(x)=(x-2)-2=x-4.
Domínio: \mathbb{R}.
Imagem: x-4 é uma função afim de coeficiente não nulo, portanto varia por toda a reta; imagem é \mathbb{R}.

Passo 6

Definição e notação intermediária: seja h(x)=g(x)=x^{2}+3x+4. Então
(g\circ g)(x)=g(h(x))=h(x)^{2}+3h(x)+4.
Podemos expandir, mas para imagem é mais econômico raciocinar com o intervalo imagem de h:
  • Primeiro, achar imagem de h: completar quadrado
h(x)=x^{2}+3x+4=\left(x+\tfrac{3}{2}\right)^{2}+\tfrac{7}{4},
logo h(x)\ge \tfrac{7}{4} para todo x. Assim \operatorname{Im}(g)=\operatorname{Im}(h)=[\tfrac{7}{4},\infty).
  • Agora considere g(y)=y^{2}+3y+4 como função em y. A derivada é
g'(y)=2y+3,
que é positiva quando y>-\tfrac{3}{2}. Como todos os valores y=h(x) satisfazem y\ge\tfrac{7}{4}>-\tfrac{3}{2}, a função g é estritamente crescente no intervalo [\tfrac{7}{4},\infty). Portanto o menor valor de g(h(x)) ocorre quando h(x) assume seu menor valor \tfrac{7}{4}.
  • Logo a imagem de g\circ g é \bigl[g(\tfrac{7}{4}),\infty\bigr). Calcule:
g\!\left(\tfrac{7}{4}\right)=\left(\tfrac{7}{4}\right)^{2}+3\cdot\tfrac{7}{4}+4=\tfrac{49}{16}+\tfrac{21}{4}+4=\tfrac{49+84+64}{16}=\tfrac{197}{16}.
Portanto \operatorname{Im}(g\circ g)=\left[\tfrac{197}{16},\infty\right).
Se for interessante ter a expressão expandida, temos também
(g\circ g)(x)=\bigl(x^{2}+3x+4\bigr)^{2}+3\bigl(x^{2}+3x+4\bigr)=x^{4}+6x^{3}+20x^{2}+33x+32.
Domínio: \mathbb{R}.

Resposta

(f\circ g)(x)=x^{2}+3x+2,\quad \operatorname{Dom}=\mathbb{R},\quad \operatorname{Im}=\left[-\tfrac{1}{4},\infty\right)\n
(g\circ f)(x)=x^{2}-x+2,\quad \operatorname{Dom}=\mathbb{R},\quad \operatorname{Im}=\left[\tfrac{7}{4},\infty\right)\n
(f\circ f)(x)=x-4,\quad \operatorname{Dom}=\mathbb{R},\quad \operatorname{Im}=\mathbb{R}\n
(g\circ g)(x)=\bigl(x^{2}+3x+4\bigr)^{2}+3\bigl(x^{2}+3x+4\bigr)=x^{4}+6x^{3}+20x^{2}+33x+32,\quad \operatorname{Dom}=\mathbb{R},\quad \operatorname{Im}=\left[\tfrac{197}{16},\infty\right)

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