Determine
e
, indicando o domínio e a imagem das mesmas.
Passo 1
O enunciado dá duas funções reais:
Pede-se para determinar as composições
,
,
e
, indicando para cada uma o domínio e a imagem.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As duas funções
e estão definidas para todo . Ou seja, . - A imagem (ou conjunto-valor) de
e não foi dada explicitamente; precisaremos calculá-la quando for útil.
Passo 2
Definição e regra do domínio para composições (aula rápida e prática):
- Por definição,
. - O domínio de
é
Aqui, como
, isso simplifica: o domínio de toda composição entre
e
é
. Ou seja, todas as quatro composições estarão definidas para todo
.
Passo 3
Calcular
:
Desenvolvendo o quadrado:
Agora encontrar a imagem (intervalo de valores possíveis). Para isso, escrevo em forma de quadrado perfeito (completar o quadrado):
Como
para todo
, o menor valor de
é
, obtido quando
. Assim a imagem é
Passo 4
Calcular
:
Simplificando:
Determinar a imagem: como
e
, o menor valor é
(ocorre em
). Portanto
Passo 5
Calcular
:
Expandindo:
Para estudar a imagem, é conveniente fazer a troca
, sabendo que
. Então
Como
para todo
, o menor valor possível de
é
, obtido quando
, isto é, quando
(ou seja
). Portanto
Passo 6
Calcular
:
Simplificando:
Essa é uma função linear de coeficiente angular
. Para qualquer
existe
tal que
, logo a imagem é todo
:
Passo 7
Resumo das observações importantes para a prova (dicas rápidas):
- Sempre verifique a definição de composição
e a condição para o domínio: deve estar em . - Para encontrar imagem de polinômios quadráticos ou em
, completar o quadrado ou fazer mudança de variável costuma ser a forma mais direta de achar mínimo/máximo sem calculadora. - Aqui, por sorte, todas as composições têm domínio
porque e são definidas em .