Determine f \circ g, g \circ f, f \circ f e g \circ g, indicando o domínio e a imagem das mesmas.
f(x)=x^{2}-1, \quad g(x)=2 x+1

Passo 1

O enunciado dá duas funções reais:
f(x)=x^{2}-1,\qquad g(x)=2x+1.
Pede-se para determinar as composições (f\circ g), (g\circ f), (f\circ f) e (g\circ g), indicando para cada uma o domínio e a imagem.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As duas funções f e g estão definidas para todo x\in\mathbb{R}. Ou seja, \operatorname{dom}(f)=\operatorname{dom}(g)=\mathbb{R}.
  • A imagem (ou conjunto-valor) de f e g não foi dada explicitamente; precisaremos calculá-la quando for útil.

Passo 2

Definição e regra do domínio para composições (aula rápida e prática):
  • Por definição, (f\circ g)(x)=f(g(x)).
  • O domínio de f\circ g é
\{x\in\operatorname{dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{dom}(f)\}.
Aqui, como \operatorname{dom}(f)=\operatorname{dom}(g)=\mathbb{R}, isso simplifica: o domínio de toda composição entre f e g é \mathbb{R}. Ou seja, todas as quatro composições estarão definidas para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Calcular f\circ g:
(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(2x+1)=(2x+1)^{2}-1.
Desenvolvendo o quadrado:
(2x+1)^{2}-1=4x^{2}+4x+1-1=4x^{2}+4x.
Agora encontrar a imagem (intervalo de valores possíveis). Para isso, escrevo em forma de quadrado perfeito (completar o quadrado):
4x^{2}+4x=4\bigl(x^{2}+x\bigr)=4\Bigl((x+\tfrac{1}{2})^{2}-\tfrac{1}{4}\Bigr)=4(x+\tfrac{1}{2})^{2}-1.
Como (x+\tfrac{1}{2})^{2}\ge 0 para todo x, o menor valor de 4(x+\tfrac{1}{2})^{2}-1 é -1, obtido quando x=-\tfrac{1}{2}. Assim a imagem é
\operatorname{Im}(f\circ g)=[-1,\infty).

Passo 4

Calcular g\circ f:
(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^{2}-1)=2(x^{2}-1)+1.
Simplificando:
2(x^{2}-1)+1=2x^{2}-2+1=2x^{2}-1.
Determinar a imagem: como 2x^{2}-1=2(x-0)^{2}-1 e (x-0)^{2}\ge 0, o menor valor é -1 (ocorre em x=0). Portanto
\operatorname{Im}(g\circ f)=[-1,\infty).

Passo 5

Calcular f\circ f:
(f\circ f)(x)=f(f(x))=f(x^{2}-1)=(x^{2}-1)^{2}-1.
Expandindo:
(x^{2}-1)^{2}-1=x^{4}-2x^{2}+1-1=x^{4}-2x^{2}.
Para estudar a imagem, é conveniente fazer a troca t=x^{2}, sabendo que t\ge 0. Então
x^{4}-2x^{2}=t^{2}-2t=(t-1)^{2}-1.
Como (t-1)^{2}\ge 0 para todo t, o menor valor possível de (t-1)^{2}-1 é -1, obtido quando t=1, isto é, quando x^{2}=1 (ou seja x=\pm 1). Portanto
\operatorname{Im}(f\circ f)=[-1,\infty).

Passo 6

Calcular g\circ g:
(g\circ g)(x)=g(g(x))=g(2x+1)=2(2x+1)+1.
Simplificando:
2(2x+1)+1=4x+2+1=4x+3.
Essa é uma função linear de coeficiente angular 4\neq 0. Para qualquer y\in\mathbb{R} existe x=(y-3)/4 tal que 4x+3=y, logo a imagem é todo \mathbb{R}:
\operatorname{Im}(g\circ g)=\mathbb{R}.

Passo 7

Resumo das observações importantes para a prova (dicas rápidas):
  • Sempre verifique a definição de composição (f\circ g)(x)=f(g(x)) e a condição para o domínio: g(x) deve estar em \operatorname{dom}(f).
  • Para encontrar imagem de polinômios quadráticos ou em t=x^{2}, completar o quadrado ou fazer mudança de variável t=x^{2} costuma ser a forma mais direta de achar mínimo/máximo sem calculadora.
  • Aqui, por sorte, todas as composições têm domínio \mathbb{R} porque f e g são definidas em \mathbb{R}.

Resposta

f\circ g(x)=4x^{2}+4x,\quad \operatorname{dom}(f\circ g)=\mathbb{R},\quad \operatorname{Im}(f\circ g)=[-1,\infty)
g\circ f(x)=2x^{2}-1,\quad \operatorname{dom}(g\circ f)=\mathbb{R},\quad \operatorname{Im}(g\circ f)=[-1,\infty)
f\circ f(x)=x^{4}-2x^{2},\quad \operatorname{dom}(f\circ f)=\mathbb{R},\quad \operatorname{Im}(f\circ f)=[-1,\infty)
g\circ g(x)=4x+3,\quad \operatorname{dom}(g\circ g)=\mathbb{R},\quad \operatorname{Im}(g\circ g)=\mathbb{R}

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