Para cada função, determine o domínio e a imagem, verifique se a função é injetora e/ou sobrejetora; quando possível, determine a função inversa f^{-1} e esboce os gráficos de f e f^{-1} no mesmo sistema de eixos.
f(x)=(x-1)^{\frac{1}{5}}

Passo 1

O enunciado pede, para a função f(x)=(x-1)^{\frac{1}{5}}:
  • determinar o domínio e a imagem;
  • verificar se f é injetora e/ou sobrejetora;
  • quando possível, determinar f^{-1};
  • esboçar os gráficos de f e f^{-1} no mesmo sistema de eixos.
Informações dadas:
  • A função é definida por f(x)=(x-1)^{\frac{1}{5}}, ou seja, toma a raiz quinta real de x-1.

Passo 2

O que significa domínio aqui e como decidir?
  • Domínio de uma função real consiste nos x\in\mathbb{R} para os quais a expressão faz sentido como número real.
  • A raiz de índice ímpar (como a quinta raiz) de um número real existe e é única para todo número real: para cada t\in\mathbb{R} existe exatamente um real u tal que u^5=t. Logo não há restrição no radicando.
    Conclusão: qualquer x\in\mathbb{R} é permitido porque x-1\in\mathbb{R} e a quinta raiz de um real é real. Portanto o domínio é \mathbb{R}.

Passo 3

Como determinar a imagem (conjunto de valores y que f assume)?
  • Seja y=f(x)=(x-1)^{\frac{1}{5}}. Para ver quais y ocorrem, resolvemos em termos de x:
y=(x-1)^{\frac{1}{5}}\quad\Rightarrow\quad y^5 = x-1\quad\Rightarrow\quad x = y^5+1.
  • Para qualquer y\in\mathbb{R} essa fórmula fornece um x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y. Portanto todo y\in\mathbb{R} é atingido.
    Conclusão: a imagem é \mathbb{R}.

Passo 4

Provar injetividade (função é um-para-um)?
  • Método direto algébrico: suponha f(x_1)=f(x_2). Então
(x_1-1)^{\frac{1}{5}}=(x_2-1)^{\frac{1}{5}}.
Elevando ambos os lados à quinta potência (operação bem definida e reversível em \mathbb{R}):
x_1-1 = x_2-1 \quad\Rightarrow\quad x_1=x_2.
  • Portanto f é injetora.
    (Comentário extra: isso também decorre do fato de que a função u\mapsto u^{1/5} é estritamente crescente em \mathbb{R}; como f(x)= (x-1)^{1/5} é composição de uma translação com essa função crescente, f é estritamente crescente.)

Passo 5

Verificar sobrejetividade (é sobrejetora para \mathbb{R}?)
  • Já mostramos no Passo 3 que para qualquer y\in\mathbb{R} existe x=y^5+1 com f(x)=y. Logo f é sobrejetora sobre \mathbb{R}.
  • Como é injetora e sobrejetora de \mathbb{R} em \mathbb{R}, f é bijetora.

Passo 6

Determinar a inversa f^{-1}
  • Partimos de y=f(x)=(x-1)^{\frac{1}{5}} e isolamos x, como fizemos:
y^5 = x-1 \quad\Rightarrow\quad x = y^5+1.
  • Assim a inversa, escrita como função de x (trocando a letra), é
f^{-1}(x) = x^5 + 1.
  • Domínio e imagem de f^{-1} são ambos \mathbb{R} (pois são a imagem e o domínio de f, respectivamente).

Passo 7

Propriedades de continuidade, monotonicidade e derivadas (insights úteis para esboço)
  • f é contínua em todo \mathbb{R} e estritamente crescente.
  • A derivada formal (para x\neq1) é
f'(x)=\frac{1}{5}(x-1)^{-\frac{4}{5}}=\frac{1}{5}\frac{1}{\bigl((x-1)^{1/5}\bigr)^4},
que é positiva para todo x\neq1 e tende a +\infty quando x\to1. Isso indica uma tangente vertical “muito inclinada” em x=1 (o que, no gráfico real, aparece como uma verticalização do declive — a função sobe/ desce muito rapidamente perto de x=1).
  • Para f^{-1}(x)=x^5+1, a derivada é
(f^{-1})'(x)=5x^4,
que é \,0 em x=0 e positiva para x\neq0. Isso dá uma tangente horizontal em x=0 para f^{-1} (ou seja, no ponto (0,1)).

Passo 8

Como esboçar os gráficos de f e f^{-1} no mesmo sistema (passo-a-passo prático)
  • Desenhe primeiro a reta de referência y=x, que será o eixo de simetria entre uma função e sua inversa.
  • Para f(x)=(x-1)^{1/5}:
    • É o gráfico da quinta raiz deslocado 1 unidade à direita.
    • Pontos fáceis: f(1)=0, f(2)=1, f(0)=-1, f(33)=2 porque 2^5=32 e 33-1=32.
    • Marque (0,-1), (1,0), (2,1), (33,2). A curva é crescente, passa por esses pontos e tem crescimento muito acentuado perto de x=1 (derivada muito grande).
  • Para f^{-1}(x)=x^5+1:
    • É o gráfico da função potência quinta deslocado 1 unidade para cima.
    • Pontos correspondentes (reflexos sobre y=x): ( -1,0) para f^{-1}? Melhor listar trocando coordenadas de f: como f(0)=-1, então f^{-1}(-1)=0. Assim marque (-1,0), (0,1), (1,2), (2,33).
    • A curva é crescente, bem íngreme para |x| grande e com tangente horizontal em (0,1).
  • Ao desenhar: os dois gráficos são reflexos um do outro em relação a y=x. f é “flatter” para grandes |x| (raiz quinta cresce devagar), e f^{-1} cresce muito mais rápido (potência quinta).
  • Dica prática para prova: trace os pontos correspondentes e ligue com a forma típica de raiz ímpar/ potência ímpar; desenhe a reta y=x e verifique que os pontos são simétricos.

Passo 9

Resumo rápido e incentivo final
  • Concluímos que a função é bem comportada: definida para todos os reais, atinge todos os reais, é estritamente crescente (portanto injetora) e bijetora, com inversa simples e explícita. Não se apavore com raízes ímpares — elas aceitam negativos, e o processo de inverter é só elevar à potência apropriada.
  • Você consegue desenhar isso na prova marcando os pontos (0,-1),(1,0),(2,1) para f e refletindo-os para f^{-1}. Vai dar certo — respira fundo e mostra o raciocínio.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \mathbb{R}
Injetora: Sim.
Sobrejetora (onto \mathbb{R}): Sim.
Inversa: f^{-1}(x)=x^{5}+1.

Exercícios relacionados