Para cada função, determine o domínio e a imagem, verifique se a função é injetora e/ou sobrejetora; quando possível, determine a função inversa
e esboce os gráficos de
e
no mesmo sistema de eixos.
Passo 1
O enunciado pede, para a função
:
- determinar o domínio e a imagem;
- verificar se
é injetora e/ou sobrejetora; - quando possível, determinar
; - esboçar os gráficos de
e no mesmo sistema de eixos.
Informações dadas:
- A função é definida por
, ou seja, toma a raiz quinta real de .
Passo 2
O que significa domínio aqui e como decidir?
- Domínio de uma função real consiste nos
para os quais a expressão faz sentido como número real. - A raiz de índice ímpar (como a quinta raiz) de um número real existe e é única para todo número real: para cada
existe exatamente um real tal que . Logo não há restrição no radicando.
Conclusão: qualqueré permitido porque e a quinta raiz de um real é real. Portanto o domínio é .
Passo 3
Como determinar a imagem (conjunto de valores
que
assume)?
- Seja
. Para ver quais ocorrem, resolvemos em termos de :
- Para qualquer
essa fórmula fornece um tal que . Portanto todo é atingido.
Conclusão: a imagem é.
Passo 4
Provar injetividade (função é um-para-um)?
- Método direto algébrico: suponha
. Então
Elevando ambos os lados à quinta potência (operação bem definida e reversível em
):
- Portanto
é injetora.
(Comentário extra: isso também decorre do fato de que a funçãoé estritamente crescente em ; como é composição de uma translação com essa função crescente, é estritamente crescente.)
Passo 5
Verificar sobrejetividade (é sobrejetora para
?)
- Já mostramos no Passo 3 que para qualquer
existe com . Logo é sobrejetora sobre . - Como é injetora e sobrejetora de
em , é bijetora.
Passo 6
Determinar a inversa
- Partimos de
e isolamos , como fizemos:
- Assim a inversa, escrita como função de
(trocando a letra), é
- Domínio e imagem de
são ambos (pois são a imagem e o domínio de , respectivamente).
Passo 7
Propriedades de continuidade, monotonicidade e derivadas (insights úteis para esboço)
-
é contínua em todo e estritamente crescente. - A derivada formal (para
) é
que é positiva para todo
e tende a
quando
. Isso indica uma tangente vertical “muito inclinada” em
(o que, no gráfico real, aparece como uma verticalização do declive — a função sobe/ desce muito rapidamente perto de
).
- Para
, a derivada é
que é
em
e positiva para
. Isso dá uma tangente horizontal em
para
(ou seja, no ponto
).
Passo 8
Como esboçar os gráficos de
e
no mesmo sistema (passo-a-passo prático)
- Desenhe primeiro a reta de referência
, que será o eixo de simetria entre uma função e sua inversa. - Para
: - É o gráfico da quinta raiz deslocado 1 unidade à direita.
- Pontos fáceis:
, , , porque e . - Marque
, , , . A curva é crescente, passa por esses pontos e tem crescimento muito acentuado perto de (derivada muito grande).
- Para
: - É o gráfico da função potência quinta deslocado 1 unidade para cima.
- Pontos correspondentes (reflexos sobre
): para ? Melhor listar trocando coordenadas de : como , então . Assim marque , , , . - A curva é crescente, bem íngreme para |x| grande e com tangente horizontal em
.
- Ao desenhar: os dois gráficos são reflexos um do outro em relação a
. é “flatter” para grandes |x| (raiz quinta cresce devagar), e cresce muito mais rápido (potência quinta). - Dica prática para prova: trace os pontos correspondentes e ligue com a forma típica de raiz ímpar/ potência ímpar; desenhe a reta
e verifique que os pontos são simétricos.
Passo 9
Resumo rápido e incentivo final
- Concluímos que a função é bem comportada: definida para todos os reais, atinge todos os reais, é estritamente crescente (portanto injetora) e bijetora, com inversa simples e explícita. Não se apavore com raízes ímpares — elas aceitam negativos, e o processo de inverter é só elevar à potência apropriada.
- Você consegue desenhar isso na prova marcando os pontos
para e refletindo-os para . Vai dar certo — respira fundo e mostra o raciocínio.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Injetora: Sim.
Sobrejetora (onto ): Sim.
Inversa: .
Imagem:
Injetora: Sim.
Sobrejetora (onto
Inversa: