1. Determine o circuito equivalente de Norton visto de a-b. Qual é o valor da máxima transferência de potência à carga? (RN = 3 ohms : IN = 1 A)

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o circuito equivalente de Norton visto de a- b (ou seja, encontrar I_N e R_N do equivalente de Norton).
  • Calcular a potência máxima que pode ser transferida à carga (ou seja, P_{\max}).
Informações relevantes (peguei estes dados da imagem):
  • Fonte de tensão independente: 18\\ \text{V}.
  • Resistores: 6\\ \Omega entre a fonte e o nó central; 2\\ \Omega entre o nó central e o terminal a; 3\\ \Omega entre o nó central e o terminal b (terra).
  • Há uma fonte de corrente dependente entre a e o nó central, de valor 0{,}25\,v_o (seta apontando no sentido da direita para a esquerda, i.e. de a para o nó central).
  • A tensão v_o está marcada no resistor 3\\ \Omega com o polo "+" no nó central e "-" em b; portanto \;v_o = V_{\text{nó central}}-0ó.
  • Os terminais do circuito (onde se conecta a carga) são a (o nó à direita) e b (o nó inferior/terra).

Passo 2

Estratégia de resolução escolhida (por que usei este método)
  • Para achar o equivalente de Norton preciso de I_N (corrente de curto-circuito entre a e b) e de R_N. Como existe uma fonte dependente, a técnica mais direta é:
    1. Calcular a corrente de curto-circuito I_{SC} colocando um curto entre a e b (isto dá I_N).
    2. Calcular a tensão a circuito aberto V_{OC} entre a e b (tensão de Thévenin). Como R_{th}=V_{OC}/I_{SC}, obtemos R_N.
  • Usei análise nodal (KCL) no nó central porque é a forma mais limpa para lidar com vários ramos convergindo no mesmo nó, incluindo a fonte dependente.

Passo 3

Definições de variáveis e observações iniciais
  • Chamo o nó central de V_c. Pelo desenho, v_o está exatamente sobre o resistor 3\\ \Omega entre nó central e b, então v_o = V_c.
  • Terminal a tem tensão V_a (que muda conforme fazemos curto ou circuito aberto).
  • O sentido da fonte de corrente dependente é da direita para a esquerda (de a para o nó central) e seu valor é \;0{,}25\,v_o = 0{,}25\,V_c.

Passo 4

Cálculo de I_N (corrente de curto-circuito I_{SC}): curto a com b
  • Com o curto entre a e b temos V_a=0.
  • Escrevo a equação nodal no nó central somando correntes que saem do nó central (sinal positivo para correntes saindo):
    • Corrente pelo resistor 6\\ \Omega em direção à fonte de 18\\ \text{V}: \dfrac{V_c-18}{6}.
    • Corrente pelo resistor 3\\ \Omega para o terra: \dfrac{V_c-0}{3}=\dfrac{V_c}{3}.
    • Corrente pelo resistor 2\\ \Omega para o nó a (agora curto a 0): \dfrac{V_c-0}{2}=\dfrac{V_c}{2}.
    • A fonte de corrente dependente tem valor 0{,}25\,V_c e, pelo desenho, envia essa corrente do terminal a para o nó central; isso significa que, do ponto de vista do nó central, há uma corrente entrando no nó central igual a +0{,}25\,V_c. Como na soma estou somando correntes que saem do nó, a contribuição desta fonte é -0{,}25\,V_c.
  • Montando KCL (soma das correntes que saem = 0): \frac{V_c-18}{6}+\frac{V_c}{3}+\frac{V_c}{2}-0{,}25\,V_c=0.
  • Agora resolvo passo a passo. Primeiro coloque tudo sobre denominador comum 6: \frac{V_c-18}{6}+\frac{2V_c}{6}+\frac{3V_c}{6}-\frac{1{,}5V_c}{6}=0.Observe que 0{,}25V_c = \dfrac{1}{4}V_c = \dfrac{1{,}5V_c}{6}.
  • Somando os termos em V_c: \frac{V_c - 18 + 2V_c + 3V_c - 1{,}5V_c}{6}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{(V_c+2V_c+3V_c-1{,}5V_c)-18}{6}=0.
\frac{4{,}5V_c-18}{6}=0 \quad\Rightarrow\quad 4{,}5V_c-18=0.
  • Assim V_c=\frac{18}{4{,}5}=4\\ \text{V}.
  • Agora calculo as correntes na janela entre c e a (com o curto): corrente pelo 2\\ \Omega do nó central para a é i_{2\Omega}=\frac{V_c-0}{2}=\frac{4}{2}=2\\ \text{A}(direção: do nó central para a — da esquerda para a direita).
  • A fonte de corrente dependente vale i_{\text{dep}}=0{,}25\,V_c=0{,}25\times 4 =1\\ \text{A},e esta corrente vai de a para o nó central (seta para a esquerda).
  • Portanto, o fluxo líquido de corrente que sai do circuito para o curto (i.e. corrente que atravessa o curto de a para b) é a diferença: I_{SC} = i_{2\Omega} - i_{\text{dep}} = 2 - 1 = 1\\ \text{A}.
  • Conclusão: I_N = I_{SC} = 1\\ \text{A}.

Passo 5

Cálculo de R_N (usando V_{OC}/I_{SC})
  • Vou achar a tensão a circuito aberto V_{OC} (ou V_{th}), que é a tensão entre a e b com a aberto.
  • Com a aberto não há corrente externa; escrevo KCL no nó a (sem corrente de carga):
    • Corrente do nó a para o nó c pelo resistor 2\\ \Omega: \dfrac{V_a-V_c}{2}.
    • Corrente pela fonte dependente do nó a para o nó c: 0{,}25\,V_c (esta corrente sai de a).
      A soma dessas correntes tem de ser zero (pois a está em circuito aberto):
    \frac{V_a-V_c}{2}+0{,}25\,V_c=0.Resolvo para V_a: V_a - V_c = -0{,}5\,V_c \quad\Rightarrow\quad V_a = V_c - 0{,}5V_c = 0{,}5\,V_c.Portanto V_a = \dfrac{1}{2}V_c.
  • Agora faço KCL no nó central c (com a aberto, usar V_a=\tfrac{1}{2}V_c):
    • Corrente pelo 6\\ \Omega: \dfrac{V_c-18}{6}.
    • Corrente pelo 3\\ \Omega: \dfrac{V_c}{3}.
    • Corrente pelo 2\\ \Omega para a: \dfrac{V_c - V_a}{2}=\dfrac{V_c - 0{,}5V_c}{2}=\dfrac{0{,}5V_c}{2}=0{,}25V_c.
    • A fonte dependente fornece corrente do a para c de 0{,}25V_c, isto é, contribui com +0{,}25V_c entrando no nó c; na soma das correntes que saem, isto aparece como -0{,}25V_c. Assim os termos +0{,}25V_c (pela ramificação resistor) e -0{,}25V_c (pela fonte dependente) se cancelam.
  • Logo a equação nodal em c fica \frac{V_c-18}{6}+\frac{V_c}{3}+0{,}25V_c-0{,}25V_c=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{V_c-18}{6}+\frac{V_c}{3}=0.
  • Multiplicando por 6: V_c-18+2V_c=0 \quad\Rightarrow\quad 3V_c=18 \quad\Rightarrow\quad V_c=6\\ \text{V}.
  • Então a tensão a circuito aberto no terminal a é V_{OC}=V_a=\tfrac{1}{2}V_c=\tfrac{1}{2}\times 6 = 3\\ \text{V}.
  • Com V_{OC}=3\\ \text{V} e I_{SC}=1\\ \text{A}, R_{th}=R_N=\frac{V_{OC}}{I_{SC}}=\frac{3}{1}=3\\ \Omega.

Passo 6

Montagem do equivalente de Norton e verificação
  • Resultado: o circuito visto de a- b é equivalente a uma fonte de corrente ideal de \;I_N=1\\ \text{A} em paralelo com R_N=3\\ \Omega.
  • (Comentário rápido: se preferir o teorema de Thévenin, o equivalente seria V_{th}=3\\ \text{V} em série com R_{th}=3\\ \Omega; note que V_{th}=I_N R_N confirma 3=1\times 3.)

Passo 7

Potência máxima transferida à carga
  • Regra: a potência entregue a uma carga R_L por um circuito com Thévenin V_{th}, R_{th} é máxima quando R_L=R_{th}. Em representação de Norton isso equivale a R_L=R_N.
  • Fórmula para a potência máxima (usar I_N e R_N): primeiro V_{th}=I_N R_N. A potência máxima é P_{\max}=\frac{V_{th}^2}{4R_{th}}=\frac{(I_N R_N)^2}{4R_N}=\frac{I_N^2 R_N}{4}.
  • Substituindo os valores \;I_N=1\\ \text{A} e \;R_N=3\\ \Omega: P_{\max}=\frac{1^2\times 3}{4}= \frac{3}{4}=0{,}75\\ \text{W}.

Resposta

I_N = 1\\ \text{A},\\ R_N = 3\\ \Omega
P_{\max} = 0{,}75\\ \text{W}

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