1. Determine os circuitos equivalentes de Thèvenin e Norton visto de a-b. Qual é o valor da máxima transferência de potência à carga? (RTh = 10 ; IN = 16,67 A)

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o circuito equivalente de Thévenin visto de a\!-\!b (ou seja V_{Th} e R_{Th}).
  • Determinar o circuito equivalente de Norton visto de a\!-\!b (ou seja I_N e R_N).
  • Calcular o valor da potência máxima transferida para a carga.
Informações relevantes (peguei estes dados da figura enviada):
  • Fonte independente: 50\\ \text{V} ligada entre o nó superior à esquerda e o nó inferior b.
  • Resistores: 3\\ \Omega em série logo à direita da fonte, 2\\ \Omega entre o nó médio e o nó a, 6\\ \Omega entre o nó médio e b, e 10\\ \Omega entre a e b.
  • Fonte controlada: fonte de corrente dependente ligada entre b e a com seta para cima e valor i_{dep}=0{,}5\,v_x, onde v_x é a tensão no resistor 6\\ \Omega (polo superior positivo).
  • Terminais de interesse: a (nó superior direito) e b (referência, nó inferior).
  • O enunciado já sugere valores finais esperados: R_{Th}=10\\ \Omega e I_N=16{,}67\\ \text{A}. Vou calcular passo a passo e mostrar de onde isso vem.

Passo 2

Como encontrar R_{Th} (resistência equivalente vista de a\!-\!b):
  • Regra: anular todas as fontes independentes (tensão ideal em curto, corrente ideal em circuito aberto). Fontes dependentes permanecem ativas, portanto não se pode simplesmente “combinar” resistores: é necessário aplicar uma fonte de prova entre a e b e calcular a tensão resultante por ampere injetada (método da fonte de teste).
  • Anulo a fonte independente de 50\\ \text{V} fazendo curto-circuito dela. Chamo o nó entre os resistores 3\Omega e 2\Omega de v_m. O nó a tem tensão v_a. O nó b é referência 0.
  • Como a fonte foi anulada, o resistor 3\\ \Omega fica entre v_m e 0. O resistor 6\\ \Omega também vai de v_m a 0. O resistor 2\\ \Omega liga v_m a v_a. O depender da corrente é i_{dep}=0{,}5\,v_x com v_x=v_m e a corrente é do nó b para o nó a (sobe para a), portanto entra em a com valor 0{,}5\,v_m.
  • Injeta-se uma corrente de teste I_{test}=1\\ \text{A} entrando no nó a (ou seja, do terminal externo para dentro do circuito) e calcula-se v_a. Então R_{Th}=v_a/I_{test}=v_a (pois I_{test}=1\\ \text{A}).
Escrevendo as equações nodais com I_{test}=1\\ \text{A}:
No nó a: correntes saindo de a pelo 10\\ \Omega e pelo 2\\ \Omega devem igualar as correntes que entram (a corrente de prova e a corrente dependente que entra do b):
\frac{v_a}{10}+\frac{v_a-v_m}{2}=1+0{,}5\,v_m.
No nó v_m: correntes pelo 6\\ \Omega, pelo 3\\ \Omega e pelo 2\\ \Omega devem somar zero:
\frac{v_m}{6}+\frac{v_m}{3}+\frac{v_m-v_a}{2}=0.
Simplificando a equação do nó v_m:
\frac{v_m}{6}+\frac{v_m}{3}=\frac{v_m}{6}+\frac{2v_m}{6}=\frac{3v_m}{6}=\frac{v_m}{2}.
Então
\frac{v_m}{2}+\frac{v_m-v_a}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2v_m-v_a}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad v_a=2v_m.
Substituindo v_a=2v_m na equação do nó a:
\frac{2v_m}{10}+\frac{2v_m-v_m}{2}=1+0{,}5\,v_m.
Calcule cada termo:
\frac{2v_m}{10}=0{,}2v_m,\qquad \frac{2v_m-v_m}{2}=\frac{v_m}{2}=0{,}5v_m.
Somando:
0{,}2v_m+0{,}5v_m=0{,}7v_m=1+0{,}5v_m.
Isolando v_m:
0{,}7v_m-0{,}5v_m=1\quad\Longrightarrow\quad 0{,}2v_m=1\quad\Longrightarrow\quad v_m=5\\ \text{V}.
Logo
v_a=2v_m=10\\ \text{V}.
Como injetamos 1\\ \text{A}, a resistência vista é
R_{Th}=\frac{v_a}{I_{test}}=\frac{10\\ \text{V}}{1\\ \text{A}}=10\\ \Omega.

Passo 3

Cálculo da tensão de circuito aberto V_{Th}=V_{oc} (colocar circuito em aberto entre a e b):
  • Agora reservo a fonte de 50\\ \text{V} ativa (não a anulo). Determinam-se v_m (tensão no topo do 6\\ \Omega) e v_a (tensão no terminal a) com circuito aberto (nenhuma corrente externa em a).
  • As equações nodais são semelhantes, agora incluindo a fonte de 50\\ \text{V} que fixa o nó à esquerda do 3\\ \Omega em 50\\ \text{V}.
No nó v_m: correntes para o terra pelo 6\\ \Omega, para 50\\ \text{V} pelo 3\\ \Omega e para v_a pelo 2\\ \Omega:
\frac{v_m}{6}+\frac{v_m-50}{3}+\frac{v_m-v_a}{2}=0.
No nó v_a: correntes pelo 10\\ \Omega e pelo 2\\ \Omega saindo de a devem ser igual à corrente dependente que entra (seta para cima):
\frac{v_a}{10}+\frac{v_a-v_m}{2}=0{,}5\,v_m.
Simplificamos a equação do nó v_m. Multiplicando por 6:
v_m+2(v_m-50)+3(v_m-v_a)=0
v_m+2v_m-100+3v_m-3v_a=0
6v_m-3v_a=100.
Simplificamos a equação do nó v_a. Multiplicando por 10:
v_a+5(v_a-v_m)=5v_m
v_a+5v_a-5v_m=5v_m
6v_a=10v_m
v_a=\frac{10}{6}v_m=\frac{5}{3}v_m.
Substituindo em 6v_m-3v_a=100:
6v_m-3\left(\frac{5}{3}v_m\right)=100
6v_m-5v_m=100
v_m=100\\ \text{V}.
Então
v_a=\frac{5}{3}v_m=\frac{5}{3}\cdot 100=\frac{500}{3}\\ \text{V}\approx 166{,}67\\ \text{V}.
Portanto
V_{Th}=V_{oc}=v_a=\frac{500}{3}\\ \text{V}.

Passo 4

Determinar a fonte de Norton e verificar consistência:
  • R_N=R_{Th}=10\\ \Omega.
  • A corrente de Norton I_N é a corrente de curto-circuito entre a e b, ou simplesmente I_N=V_{Th}/R_{Th}.
I_N=\frac{V_{Th}}{R_{Th}}=\frac{\tfrac{500}{3}}{10}=\frac{50}{3}\\ \text{A}\approx 16{,}666\ldots\\ \text{A}.
Isso coincide com o valor indicado no enunciado ( 16{,}67\\ \text{A} arredondado).

Passo 5

Potência máxima transferida à carga:
  • Teorema da máxima transferência de potência: potência na carga R_L é máxima quando R_L=R_{Th} (para cargas resistivas).
  • Valor máximo:
P_{\max}=\frac{V_{Th}^2}{4R_{Th}}.
Substituindo V_{Th}=\dfrac{500}{3}\\ \text{V} e R_{Th}=10\\ \Omega:
P_{\max}=\frac{\left(\dfrac{500}{3}\right)^{2}}{4\cdot 10}=\frac{\dfrac{250000}{9}}{40}=\frac{250000}{360}=\frac{6250}{9}\\ \text{W}\approx 694{,}44\\ \text{W}.

Resposta

V_{Th}=\dfrac{500}{3}\\ \mathrm{V},\\ R_{Th}=10\\ \Omega
I_{N}=\dfrac{50}{3}\\ \mathrm{A},\\ R_{N}=10\\ \Omega
P_{\max}=\dfrac{6250}{9}\\ \mathrm{W}\approx 694{,}44\\ \mathrm{W}

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