1. Sistema Elétrico de Potência - Observação de corrente de aterramento Durante uma inspeção em campo, você observa que uma torre de transmissão recéminstalada utiliza uma haste de aterramento vertical de aproximadamente 3 m de comprimento. Ao realizar medições de corrente de fuga em diferentes pontos da haste, nota que a corrente não parece se distribuir de forma uniforme ao longo de sua profundidade. A equipe de solo informa que a região apresenta camadas com diferentes níveis de umidade, sugerindo variação de resistividade com a profundidade.
(b) Admitindo uma resistividade média equivalente do solo de \rho_{\mathrm{eq}}=120 \Omega \cdot \mathrm{~m}, estime a resistência de aterramento da haste usando um modelo simplificado adequado.

Passo 1

O enunciado e a figura nos dão as seguintes informações (peguei o comprimento da haste e a indicação de camadas da imagem fornecida):
  • Haste de aterramento vertical com comprimento aproximadamente \,L=3\\ \mathrm{m}.
  • Solo com camadas de resistividade distintas (na figura aparecem \rho_1,\rho_2,\rho_3), ou seja, resistividade varia com a profundidade.
  • Foi dada uma resistividade média equivalente do solo \,\rho_{\mathrm{eq}}=120\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
    Pergunta a responder:
  • (b) Estimar a resistência de aterramento da haste, usando um modelo simplificado apropriado.

Passo 2

Escolha do modelo e justificativa (por que usar esse método).
  • Como temos uma haste vertical simples e apenas a resistividade média equivalente do solo, o procedimento prático e comum é modelar a haste como um eletrodo vertical cilíndrico em solo homogêneo com resistividade \rho=\rho_{\mathrm{eq}}.
  • Isso é um modelo simplificado, adequado quando não temos um levantamento detalhado das camadas; ele captura a dependência mais importante: a resistência cai quando a haste é mais longa e cresce quando seu raio é menor, e depende logaritmicamente da razão comprimento/raio.
  • Entre fórmulas de referência para uma haste única, vou usar a expressão padrão amplamente adotada em cursos e padrões práticos (modelo de haste vertical longa, enterrada):
R=\frac{\rho}{2\pi L}\,\bigl[\ln\!\bigl(\tfrac{2L}{a}\bigr)-1\bigr],
onde explico cada símbolo no passo seguinte. (Obs.: existem variantes com \ln(4L/a) em certas aproximações — farei um comentário de sensibilidade no final.)

Passo 3

Explicação detalhada da fórmula e significado das variáveis (aula curta).
  • A fórmula
R=\frac{\rho}{2\pi L}\,\bigl[\ln\!\bigl(\tfrac{2L}{a}\bigr)-1\bigr]
é uma aproximação para a resistência entre uma haste cilíndrica vertical e a “terra distante”. Ela vem da solução para o potencial produzido por uma distribuição de corrente ao longo da haste, integrando as contribuições de cada elemento da haste ao potencial no solo e levando em conta o comportamento radial (o termo logarítmico aparece por causa da solução em coordenadas cilíndricas).
  • Significado dos termos:
    • \rho é a resistividade do solo (unidade \Omega\cdot\mathrm{m}); aqui usamos \rho=\rho_{\mathrm{eq}}=120\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
    • L é o comprimento da haste inserida no solo (unidade \mathrm{m}); aqui L=3\\ \mathrm{m}.
    • a é o raio efetivo da haste (unidade \mathrm{m}). Este raio corresponde ao raio físico do eletrodo (metálico) — para uma haste de diâmetro d temos a=d/2.
  • Observações didáticas:
    • A resistência é aproximadamente inversamente proporcional ao comprimento L: dobrar L tende a aproximadamente reduzir à metade a \frac{\rho}{2\pi L} pré-fator (com uma leve correção logarítmica).
    • A dependência no raio a é apenas logarítmica: variar um pouco o diâmetro da haste muda pouco a resistência em comparação com mudar o comprimento ou a resistividade do solo.
    • Como não foi informado o raio/diâmetro da haste, é preciso assumir um valor prático típico (vou assumir e depois mostrar sensibilidade).

Passo 4

Assumptions numéricas e cálculo direto (faça passo a passo para conseguir reproduzir sem calculadora, com explicações).
  • Vou assumir um diâmetro típico de haste de aterramento usado em campo: d=16\\ \mathrm{mm}. Então o raio é
a=\frac{d}{2}=\frac{16\\ \mathrm{mm}}{2}=8\\ \mathrm{mm}=0,008\\ \mathrm{m}.
(Se a haste em campo tiver outro diâmetro, basta trocar a e recalcular.)
  • Calcule o pré-fator \dfrac{\rho}{2\pi L}:
\frac{\rho}{2\pi L}=\frac{120}{2\pi\cdot 3}=\frac{120}{6\pi}=\frac{20}{\pi}\\ \Omega \approx 6{,}3662\\ \Omega.
(Explicação: 2\pi L=2\pi\cdot 3=6\pi; dividir 120 por 6\pi 20/\pi.)
  • Calcule o argumento logarítmico \ln\!\bigl(\tfrac{2L}{a}\bigr):
\frac{2L}{a}=\frac{2\cdot 3}{0,008}=\frac{6}{0,008}=750,
\ln(750)\approx 6{,}6201.
(Explicação: 750=3\cdot 250; usar logaritmos aproximados ou uma tabela/bolsinha de cabeça — aqui tomo \ln(750)\approx 6{,}6201.)
  • Subtrair 1:
\ln\!\bigl(\tfrac{2L}{a}\bigr)-1 \approx 6{,}6201-1=5{,}6201.
  • Multiplicar tudo para obter R:
R\approx 6{,}3662 \times 5{,}6201 \approx 35{,}78\\ \Omega.
Portanto, usando d=16\\ \mathrm{mm} ( a=0,008\\ \mathrm{m}) e \rho_{\mathrm{eq}}=120\\ \Omega\cdot\mathrm{m}, obtemos uma resistência de aterramento estimada de \approx 35{,}8\\ \Omega.

Passo 5

Verificação de sensibilidade e comentário sobre variações do modelo
  • Se alguém usar outra forma aproximada (algumas referências usam \ln(4L/a) no lugar de \ln(2L/a)), o valor muda um pouco. Por exemplo, com \ln(4L/a) teríamos:
\frac{4L}{a}=\frac{12}{0,008}=1500,\qquad \ln(1500)\approx 7{,}3132,
R\approx \frac{20}{\pi}\,[7{,}3132-1]\approx 6{,}3662\times 6{,}3132\approx 40{,}2\\ \Omega.
Isso mostra que a estimativa típica fica na faixa aproximada \,36\text{–}40\\ \Omega dependendo da aproximação e dos detalhes geométricos.
  • Sensibilidade ao raio: se a haste fosse mais grossa, por exemplo diâmetro d=12\\ \mathrm{mm} ( a=0,006\\ \mathrm{m}), com a mesma fórmula usada inicialmente, obteríamos R\approx 37{,}6\\ \Omega — ou seja, variações de diâmetro pequena geram mudanças modestíssimas.
  • Importante: como o solo é estratificado (conforme a figura), a utilização de uma resistividade média é uma aproximação; para um projeto mais rigoroso usa-se método de camadas (capacitância e integrais) ou medidas in situ (teste de queda de potencial) para obter a resistência real.

Passo 6

Conclusão prática e dicas rápidas (o que isso significa para o projeto e para a prova)
  • Resultado prático da estimativa: a resistência da haste é da ordem de algumas dezenas de ohms; com os valores escolhidos ficamos em torno de \approx 36\\ \Omega.
  • Se a especificação do projeto exigir resistência mais baixa (por ex. abaixo de 10\\ \Omega), será necessário aumentar o comprimento das hastes, usar múltiplas hastes em malha, melhorar o solo (sal ou bentonita) ou combinar técnicas.
  • Para a prova: memorize a fórmula padrão, entenda o papel de \rho, L e a (inverso em L e log em a), e saiba comentar sobre limitações do modelo (camadas, contato solo/haste, etc.).

Resposta

R\approx 35{,}8\\ \Omega (estimativa usando \rho_{\mathrm{eq}}=120\\ \Omega\cdot\mathrm{m}, L=3\\ \mathrm{m} e hipótese de haste com diâmetro d=16\\ \mathrm{mm}; resultado robusto na faixa \sim36\text{–}40\\ \Omega conforme a aproximação usada).

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