Determine o círculo e o raio de convergência das séries de potências dadas.
sumk=0^infty (-1)^kk 2^k(z-1-i)^k

Passo 1

O enunciado pede para achar o círculo (disco) e o raio de convergência da série de potências sumk=0^infty (-1)^kk2^k(z-(1+i))^k. O conteúdo é séries de potências e vamos usar o teste da razão para descobrir o raio.

Passo 2

Observamos que a série está centrada em z0 = 1 + i e que os coeficientes são ak = (-1)^kk2^k (com a convenção de começar em k=1 já que a0 não está bem definido).

Passo 3

Aplicamos o teste da razão calculando
L = limktoinfty |ak+1ak| = limktoinfty |(-1)^k+1/((k+1)2^k+1)(-1)^k/(k2^k)| = limktoinfty kk+1cdot 12 = 12

Passo 4

Pelo teste da razão, a série converge se
|z - z0| cdot L < 1
o que dá
|z - (1+i)| < 1L = 2

Resposta

O círculo de convergência é o disco
|z - (1 + i)| < 2
com centro em 1 + i e raio 2.

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