Expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto z0 indicado. Dê o raio de convergência R de cada série.
f(z)=1(1+2 z)^2, z0=0

Passo 1

A função dada é f(z)=1(1+2z)^2 centrada em z0=0. Vamos usar a série binomial para potências negativas, que nos permite escrever (1+x)^-2 em série de potências.

Passo 2

A série binomial geral para (1+x)^-k com k>0 inteiro é
(1+x)^-k=sumn=0^infty(-1)^nbinomn+k-1nx^n
No caso k=2 temos
(1+x)^-2=sumn=0^infty(-1)^nbinomn+1nx^n=sumn=0^infty(-1)^n(n+1)x^n

Passo 3

Agora vemos que f(z)=1(1+2z)^2 é o caso x=2z na expansão acima. Então
f(z)=sumn=0^infty(-1)^n(n+1)(2z)^n=sumn=0^infty(-1)^n(n+1)2^nz^n

Passo 4

O raio de convergência vem da condição |2z|<1, ou seja
|z|<12

Resposta

A expansão em série de Taylor em torno de 0 é
f(z)=sumn=0^infty(-1)^n(n+1)2^nz^n,
e o raio de convergência é R=tfrac12.

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