Determine e classifique os pontos críticos de:
f(x, y)=(x-1)^{2}-2 y^{2};

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar os pontos críticos da função \,f(x,y)=(x-1)^{2}-2y^{2}.
  • Classificar cada ponto crítico (mínimo local, máximo local ou ponto de sela).
Informações dadas:
  • A função é \,f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por \,f(x,y)=(x-1)^{2}-2y^{2}.
  • O domínio implícito é todo o plano \,\mathbb{R}^2.

Passo 2

O que significa “ponto crítico” e como achar um:
  • Um ponto (x_0,y_0) é ponto crítico se o gradiente de f em (x_0,y_0) for o vetor nulo ou se alguma derivada parcial for indefinida. Aqui as derivadas parciais existem em todo lugar, então procuramos onde o gradiente é zero.
Definição do gradiente e derivadas parciais:
  • O gradiente é \,\nabla f=(f_x,f_y), onde \,f_x é a derivada parcial de f em relação a x e \,f_y é a derivada parcial em relação a y.
  • Vou calcular \,f_x e \,f_y explicitamente.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais:
f(x,y)=(x-1)^{2}-2y^{2}.
Derivando em relação a x\): \[f_x=\frac{\partial}{\partial x}\big[(x-1)^{2}\big]=2(x-1).
Derivando em relação a y:
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\big[-2y^{2}\big]=-4y.
Agora impondo o gradiente nulo:
\begin{cases} f_x=2(x-1)=0,\\[4pt] f_y=-4y=0. \end{cases}
Resolvendo o sistema:
2(x-1)=0\\ \Rightarrow\\ x-1=0\\ \Rightarrow\\ x=1,
-4y=0\\ \Rightarrow\\ y=0.
Portanto existe um único ponto crítico em (,(1,0)].]

Passo 4

Como classificar o ponto crítico: teste das derivadas segundas (matriz Hessiana)
  • Calcular as segundas derivadas: f_{xx}, f_{yy}, f_{xy}.
  • Formar o discriminante da Hessiana em 2D: \,D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}.
  • Regras de classificação:
    • Se \,D>0 e \,f_{xx}>0, então mínimo local.
    • Se \,D>0 e \,f_{xx}<0, então máximo local.
    • Se \,D<0, então ponto de sela.
    • Se \,D=0, o teste é inconclusivo.
Vou aplicar esse procedimento.

Passo 5

Cálculo das segundas derivadas para esta função:
Já temos \,f_x=2(x-1) e \,f_y=-4y.
Derivando novamente:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\big[2(x-1)\big]=2,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\big[-4y\big]=-4,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\big[2(x-1)\big]=0.
Agora o discriminante:
D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}=2\cdot(-4)-0^{2}=-8.
Como \,D=-8<0, pelo teste das derivadas segundas o ponto crítico é um ponto de sela.

Passo 6

Intuição rápida para confirmar (exemplo local):
  • Se fixar y=0, então \,f(x,0)=(x-1)^{2} tem mínimo em x=1 (valor zero).
  • Se fixar x=1, então \,f(1,y)=-2y^{2} tem máximo em y=0 (valor zero).
    Esses dois comportamentos opostos (mínimo numa direção e máximo em outra) caracterizam exatamente um ponto de sela em (1,0).

Resposta

(1,0) — ponto de sela.

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