Determine e classifique os pontos críticos de:
;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar os pontos críticos da função
. - Classificar cada ponto crítico (mínimo local, máximo local ou ponto de sela).
Informações dadas:
- A função é
definida por . - O domínio implícito é todo o plano
.
Passo 2
O que significa “ponto crítico” e como achar um:
- Um ponto
é ponto crítico se o gradiente de em for o vetor nulo ou se alguma derivada parcial for indefinida. Aqui as derivadas parciais existem em todo lugar, então procuramos onde o gradiente é zero.
Definição do gradiente e derivadas parciais:
- O gradiente é
, onde é a derivada parcial de em relação a e é a derivada parcial em relação a . - Vou calcular
e explicitamente.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais:
Derivando em relação a
Derivando em relação a
:
Agora impondo o gradiente nulo:
Resolvendo o sistema:
Portanto existe um único ponto crítico em (,(1,0)].]
Passo 4
Como classificar o ponto crítico: teste das derivadas segundas (matriz Hessiana)
- Calcular as segundas derivadas:
. - Formar o discriminante da Hessiana em 2D:
. - Regras de classificação:
- Se
e , então mínimo local. - Se
e , então máximo local. - Se
, então ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
- Se
Vou aplicar esse procedimento.
Passo 5
Cálculo das segundas derivadas para esta função:
Já temos e
.
Derivando novamente:
Já temos
Derivando novamente:
Agora o discriminante:
Como
, pelo teste das derivadas segundas o ponto crítico é um ponto de sela.
Passo 6
Intuição rápida para confirmar (exemplo local):
- Se fixar
, então tem mínimo em (valor zero). - Se fixar
, então tem máximo em (valor zero).
Esses dois comportamentos opostos (mínimo numa direção e máximo em outra) caracterizam exatamente um ponto de sela em.