Determine e classifique os pontos críticos de:
f(x, y)=2 x+4 y-x^{2}-y^{2}-3;

Passo 1

O enunciado pede que se determine e classifique os pontos críticos da função
f(x,y)=2x+4y-x^{2}-y^{2}-3.
Informações fornecidas:
  • A função f é uma função de duas variáveis x e y.
  • A tarefa tem duas partes implícitas: (i) encontrar os pontos críticos (pontos onde o gradiente é zero ou não existe) e (ii) classificar cada ponto crítico (mínimo, máximo ou sela).

Passo 2

Definição e cálculo do gradiente (por que usar isso):
Um ponto crítico ocorre onde o gradiente de f é o vetor nulo ou não está definido. O gradiente reúne as derivadas parciais em cada direção coordenada; para f(x,y) temos o vetor
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Agora calculo as derivadas parciais uma a uma, mostrando como:
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x}: trato y como constante e derivo em relação a x.
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x+4y-x^{2}-y^{2}-3\bigr)=2-2x.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial y}: trato x como constante e derivo em relação a y.
\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x+4y-x^{2}-y^{2}-3\bigr)=4-2y.
Portanto
\nabla f(x,y)=\bigl(2-2x,\;4-2y\bigr).

Passo 3

Encontrar os pontos críticos resolvendo \nabla f(x,y)=\mathbf{0}\). Isso dá o sistema \[\begin{cases} 2-2x=0,\\[4pt] 4-2y=0. \end{cases}
Resolvo cada equação:
2-2x=0 \Longrightarrow 2x=2 \Longrightarrow x=1,
4-2y=0 \Longrightarrow 2y=4 \Longrightarrow y=2.
Logo há exatamente um ponto crítico: ((1,2)].]

Passo 4

Classificação por teste das segundas derivadas (Hessiana).
Explico o teste: para funções de duas variáveis, calcula-se as segundas derivadas e monta-se a matriz Hessiana
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix},
onde f_{xx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}, f_{yy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} e f_{xy}=f_{yx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}. O determinante
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2}
é usado assim:
  • Se D>0 e f_{xx}>0: mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0: máximo local.
  • Se D<0: ponto de sela.
  • Se D=0: teste inconclusivo.
Calculo as segundas derivadas para f:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(2-2x)=-2,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(4-2y)=-2,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(2-2x)=0.
Então a Hessiana é constante
H=\begin{pmatrix}-2 & 0\\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix}
e o determinante vale
D = (-2)\cdot(-2)-0^{2}=4>0.
Como D>0 e f_{xx}=-2<0, pelo teste das segundas derivadas o ponto crítico (1,2) é um máximo local.]

Passo 5

Mostrar que é, na verdade, máximo global (forma alternativa e mais intuitiva): completar quadrados. Vou reescrever f agrupando termos de x e y:
\begin{aligned} f(x,y)&=2x-x^{2}+4y-y^{2}-3\\[4pt] &= -\bigl(x^{2}-2x\bigr) -\bigl(y^{2}-4y\bigr) -3. \end{aligned}
Completo quadrado em cada parêntese:
x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1, \qquad y^{2}-4y=(y-2)^{2}-4.
Substituindo:
\begin{aligned} f(x,y)&= -\bigl((x-1)^{2}-1\bigr) -\bigl((y-2)^{2}-4\bigr)-3\\[4pt] &= -(x-1)^{2}-(y-2)^{2} +1+4-3\\[4pt] &= -\bigl(x-1\bigr)^{2}-\bigl(y-2\bigr)^{2}+2. \end{aligned}
Isto é claríssimo: os termos (x-1)^{2} e (y-2)^{2} são sempre não negativos, então - (x-1)^{2}-(y-2)^{2} é sempre menor ou igual a 0. A soma atinge o valor máximo quando ambos os quadrados são zero, ou seja, exatamente em x=1,\;y=2. O valor máximo é então
f(1,2)=2.
Portanto o ponto crítico (1,2) é um máximo estrito e, por ser uma função quadrática com Hessiana negativa definida, esse máximo é global.]

Resposta

(1,2) é o único ponto crítico; é um máximo global (estrito) e f(1,2)=2.

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