Determine e classifique os pontos críticos de:
;
Passo 1
O enunciado pede que se determine e classifique os pontos críticos da função
Informações fornecidas:
- A função
é uma função de duas variáveis e . - A tarefa tem duas partes implícitas: (i) encontrar os pontos críticos (pontos onde o gradiente é zero ou não existe) e (ii) classificar cada ponto crítico (mínimo, máximo ou sela).
Passo 2
Definição e cálculo do gradiente (por que usar isso):
Um ponto crítico ocorre onde o gradiente de é o vetor nulo ou não está definido. O gradiente reúne as derivadas parciais em cada direção coordenada; para
temos o vetor
Um ponto crítico ocorre onde o gradiente de
Agora calculo as derivadas parciais uma a uma, mostrando como:
- Para
: trato como constante e derivo em relação a .
- Para
: trato como constante e derivo em relação a .
Portanto
Passo 3
Encontrar os pontos críticos resolvendo
Resolvo cada equação:
Logo há exatamente um ponto crítico: ((1,2)].]
Passo 4
Classificação por teste das segundas derivadas (Hessiana).
Explico o teste: para funções de duas variáveis, calcula-se as segundas derivadas e monta-se a matriz Hessiana
Explico o teste: para funções de duas variáveis, calcula-se as segundas derivadas e monta-se a matriz Hessiana
onde
,
e
. O determinante
é usado assim:
- Se
e : mínimo local. - Se
e : máximo local. - Se
: ponto de sela. - Se
: teste inconclusivo.
Calculo as segundas derivadas para
:
Então a Hessiana é constante
e o determinante vale
Como
e
, pelo teste das segundas derivadas o ponto crítico
é um máximo local.]
Passo 5
Mostrar que é, na verdade, máximo global (forma alternativa e mais intuitiva): completar quadrados. Vou reescrever
agrupando termos de
e
:
Completo quadrado em cada parêntese:
Substituindo:
Isto é claríssimo: os termos
e
são sempre não negativos, então
é sempre menor ou igual a
. A soma atinge o valor máximo quando ambos os quadrados são zero, ou seja, exatamente em
. O valor máximo é então
Portanto o ponto crítico
é um máximo estrito e, por ser uma função quadrática com Hessiana negativa definida, esse máximo é global.]