Encontre a direção em f(x, y)=2+x^2+14 y^2 cresce mais rapidamente no ponto (1,2) e determine a taxa máxima de crescimento de f em (1,2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a direção em que a função f(x,y)=2+x^2+tfrac14y^2 cresce mais rápido no ponto (1,2) e qual é a taxa máxima de crescimento ali. O conteúdo necessário é gradiente e derivada direcional, pois a direção de máximo crescimento é a do gradiente e a taxa é o seu módulo.

Passo 2

Para achar o gradiente, lembramos que nabla f(x,y)=(partial fpartial x,partial fpartial y). Calculando as derivadas parciais: partial fpartial x=2x e partial fpartial y=tfrac12y. Logo,
nabla f(x,y)=(2x,tfrac12y)

Passo 3

Avaliaremos agora em (1,2):
nabla f(1,2)=(2cdot1,tfrac12cdot2)=(2,1)

Passo 4

A direção de crescimento mais rápido é o vetor gradiente normalizado, ou seja:
u=1|nabla f(1,2)|(2,1)com|nabla f(1,2)|=raiz2^2+1^2=raiz5

Resposta

A direção de crescimento mais rápido em (1,2) é l(tfrac2raiz5,tfrac1raiz5r) e a taxa máxima de crescimento ali é raiz5.

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