Determine e classifique os pontos críticos de:
;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Função dada:
. - O enunciado pede:
- Determinar os pontos críticos de
(ou seja, os pontos onde o gradiente é nulo). - Classificar cada ponto crítico (máximo local, mínimo local ou ponto de sela).
- Determinar os pontos críticos de
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os coeficientes das parcelas quadráticas e mistas estão explícitos em
. - Não há restrições no domínio (assume-se domínio
).
Passo 2
Calcular as derivadas parciais primeiras (componentes do gradiente). Vou explicar como: a derivada parcial em relação a
trata
como constante, e vice-versa.
- Derivada parcial em relação a
:
Calculando termo a termo:
Portanto
- Derivada parcial em relação a
:
Calculando termo a termo:
Portanto
Passo 3
Encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema
Vou resolver por substituição (método simples em sistemas lineares 2×2).
Da segunda equação:
Dividindo por (2]:
Substituo
na primeira equação:
Desenvolvendo:
Logo
Então
Conclusão deste passo: existe um único ponto crítico em
.]
Passo 4
Calcular as derivadas parciais segundas e montar a matriz Hessiana. Vou explicar: a matriz Hessiana reúne as segundas derivadas de segunda ordem; ela nos ajuda a classificar o tipo do ponto crítico.
As segundas derivadas:
A matriz Hessiana é
Observação: neste caso as segundas derivadas são constantes, então
é a mesma em qualquer ponto; em particular, em
vale o mesmo
.]
Passo 5
Aplicar o teste das segundas derivadas (2 variáveis) para classificar o ponto crítico.
O teste diz: calcule
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela (não é nem máximo nem mínimo). - Se
o teste é inconclusivo.
Calculo
para nossa Hessiana:
Como
, pelo teste das segundas derivadas o ponto crítico é um ponto de sela.
Como referência adicional (checagem): autovalores de
são soluções de
. Aqui
e
, logo os autovalores são
, um positivo e outro negativo — isso confirma que a matriz é indefinida e, portanto, ponto de sela.]
Passo 6
Interpretação final e dica prática para a prova: ao resolver uma função quadrática em duas variáveis, normalmente:
- calcula-se
e resolve-se um sistema linear para achar pontos críticos; - monta-se a Hessiana constante (para quadráticas) e usa-se
para classificar rapidamente.
No caso tratado, o único ponto crítico é
e a Hessiana tem determinante negativo, então é um ponto de sela. Bom trabalho — já salva esse passo a passo para a prova: é rápido e confiável para funções quadráticas!
Resposta
Ponto crítico:
— classificação: ponto de sela.