Determine e classifique os pontos críticos de:
f(x, y)=2 x^{2}+y^{2}+6 x y+10 x+5-6 y;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Função dada: f(x,y)=2x^{2}+y^{2}+6xy+10x+5-6y.
  • O enunciado pede:
    1. Determinar os pontos críticos de f (ou seja, os pontos onde o gradiente é nulo).
    2. Classificar cada ponto crítico (máximo local, mínimo local ou ponto de sela).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os coeficientes das parcelas quadráticas e mistas estão explícitos em f.
  • Não há restrições no domínio (assume-se domínio \mathbb{R}^{2}).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais primeiras (componentes do gradiente). Vou explicar como: a derivada parcial em relação a x trata y como constante, e vice-versa.
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(6xy\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(10x\bigr)+\text{termos sem }x.
Calculando termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}\bigr)=4x,\qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(6xy\bigr)=6y,\qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(10x\bigr)=10.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=4x+6y+10.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(6xy\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-6y\bigr)+\text{termos sem }y.
Calculando termo a termo:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\bigr)=2y,\qquad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(6xy\bigr)=6x,\qquad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-6y\bigr)=-6.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=2y+6x-6.

Passo 3

Encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema \nabla f=0\), isto é, \[\begin{cases} 4x+6y+10=0,\\[4pt] 6x+2y-6=0. \end{cases}
Vou resolver por substituição (método simples em sistemas lineares 2×2).
Da segunda equação:
6x+2y-6=0 \quad\Rightarrow\quad 6x+2y=6.
Dividindo por (2]:
3x+y=3 \quad\Rightarrow\quad y=3-3x.
Substituo y=3-3x na primeira equação:
4x+6(3-3x)+10=0.
Desenvolvendo:
4x+18-18x+10=0 \quad\Rightarrow\quad -14x+28=0.
Logo
-14x=-28 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Então
y=3-3x=3-3\cdot 2=3-6=-3.
Conclusão deste passo: existe um único ponto crítico em (x,y)=(2,-3).]

Passo 4

Calcular as derivadas parciais segundas e montar a matriz Hessiana. Vou explicar: a matriz Hessiana reúne as segundas derivadas de segunda ordem; ela nos ajuda a classificar o tipo do ponto crítico.
As segundas derivadas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}= \frac{\partial}{\partial x}(4x+6y+10)=4,
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}= \frac{\partial}{\partial y}(2y+6x-6)=2,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}(4x+6y+10)=6,
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}(2y+6x-6)=6.
A matriz Hessiana é
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\[4pt] 6 & 2 \end{pmatrix}.
Observação: neste caso as segundas derivadas são constantes, então H é a mesma em qualquer ponto; em particular, em (2,-3) vale o mesmo H.]

Passo 5

Aplicar o teste das segundas derivadas (2 variáveis) para classificar o ponto crítico.
O teste diz: calcule
D = \det(H)= f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}.
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela (não é nem máximo nem mínimo).
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Calculo D para nossa Hessiana:
D = \det\!\begin{pmatrix}4 & 6\\[4pt]6 & 2\end{pmatrix} = 4\cdot 2 - 6\cdot 6 = 8-36 = -28.
Como D=-28<0, pelo teste das segundas derivadas o ponto crítico é um ponto de sela.
Como referência adicional (checagem): autovalores de H são soluções de \lambda^{2}-\operatorname{tr}(H)\lambda+\det(H)=0. Aqui \operatorname{tr}(H)=4+2=6 e \det(H)=-28, logo os autovalores são 3\pm\sqrt{37}, um positivo e outro negativo — isso confirma que a matriz é indefinida e, portanto, ponto de sela.]

Passo 6

Interpretação final e dica prática para a prova: ao resolver uma função quadrática em duas variáveis, normalmente:
  • calcula-se \nabla f e resolve-se um sistema linear para achar pontos críticos;
  • monta-se a Hessiana constante (para quadráticas) e usa-se D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2} para classificar rapidamente.
No caso tratado, o único ponto crítico é (2,-3) e a Hessiana tem determinante negativo, então é um ponto de sela. Bom trabalho — já salva esse passo a passo para a prova: é rápido e confiável para funções quadráticas!

Resposta

Ponto crítico: (2,-3) — classificação: ponto de sela.

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