Determine e classifique os pontos críticos de:
;
Passo 1
O enunciado pede: determinar e classificar os pontos críticos da função
.
Informações dadas:
- A função é
dada por . - Deve-se encontrar todos os pontos críticos (pontos onde o gradiente é nulo ou não existe) e dizer se cada ponto crítico é mínimo local, máximo local, ponto de sela, ou outro (por exemplo máximo absoluto).
Passo 2
O que é ponto crítico e como achar: um ponto
é crítico se o gradiente de
, isto é
, for o vetor nulo ali (ou as derivadas parciais não existirem). Para funções suaves como esta, basta calcular as derivadas parciais e resolver o sistema
.
Vou calcular as derivadas parciais de
:
Derivando termo a termo:
Passo 3
Agora imponho o sistema
, ou seja
Resolvendo:
Portanto existe exatamente um ponto crítico:
.
Passo 4
Como classificar? Usamos o teste das segundas derivadas (teste do Hessiano) para funções de duas variáveis. Explico o que é:
- As segundas derivadas são
, e . - Monta-se o Hessiano
em um ponto:
- Define-se o discriminante
avaliado no ponto crítico. - Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
- Se
Vou calcular as segundas derivadas para a nossa
:
Passo 5
Calculo do discriminante no ponto crítico (os segundos derivados são constantes, valem em qualquer ponto):
Temos
e além disso
. Pelo teste das segundas derivadas, isso indica que o ponto crítico
é um máximo local.
Passo 6
Verificação e conclusão sobre máximo local versus máximo absoluto: a função
satisfaz, para todo
,
porque
e
. No ponto
temos
Como nenhum ponto atinge valor maior que
, o máximo local em
é também máximo absoluto (global). Não existe mínimo absoluto porque a função tende a
quando
.
Resposta
Ponto crítico:
— máximo absoluto (global) de
, com valor
.