Determine e classifique os pontos críticos de:
f(x, y)=-x^{2}-y^{2};

Passo 1

O enunciado pede: determinar e classificar os pontos críticos da função f(x,y)=-x^{2}-y^{2}.
Informações dadas:
  • A função é f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por f(x,y)=-x^{2}-y^{2}.
  • Deve-se encontrar todos os pontos críticos (pontos onde o gradiente é nulo ou não existe) e dizer se cada ponto crítico é mínimo local, máximo local, ponto de sela, ou outro (por exemplo máximo absoluto).

Passo 2

O que é ponto crítico e como achar: um ponto (x,y) é crítico se o gradiente de f, isto é \nabla f, for o vetor nulo ali (ou as derivadas parciais não existirem). Para funções suaves como esta, basta calcular as derivadas parciais e resolver o sistema \nabla f=(0,0).
Vou calcular as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=\;? \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\;?
Derivando termo a termo:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-x^{2}-y^{2}\bigr)=-2x,
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-x^{2}-y^{2}\bigr)=-2y.

Passo 3

Agora imponho o sistema \nabla f=(0,0), ou seja
-2x=0,\qquad -2y=0.
Resolvendo:
x=0,\qquad y=0.
Portanto existe exatamente um ponto crítico: (0,0).

Passo 4

Como classificar? Usamos o teste das segundas derivadas (teste do Hessiano) para funções de duas variáveis. Explico o que é:
  • As segundas derivadas são \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}, \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} e \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
  • Monta-se o Hessiano H em um ponto:
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}.
  • Define-se o discriminante D = f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2} avaliado no ponto crítico.
    • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
    • Se D<0 então ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Vou calcular as segundas derivadas para a nossa f:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2x\bigr)=-2,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2y\bigr)=-2,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2x\bigr)=0.]

Passo 5

Calculo do discriminante no ponto crítico (os segundos derivados são constantes, valem em qualquer ponto):
D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}=(-2)\cdot(-2)-0^{2}=4.
Temos D=4>0 e além disso f_{xx}=-2<0. Pelo teste das segundas derivadas, isso indica que o ponto crítico (0,0) é um máximo local.

Passo 6

Verificação e conclusão sobre máximo local versus máximo absoluto: a função \;f(x,y)=-x^{2}-y^{2}\; satisfaz, para todo (x,y),
f(x,y)=-x^{2}-y^{2}\le 0,
porque x^{2}\ge 0 e y^{2}\ge 0. No ponto (0,0) temos
f(0,0)=0.
Como nenhum ponto atinge valor maior que 0, o máximo local em (0,0) é também máximo absoluto (global). Não existe mínimo absoluto porque a função tende a -\infty quando \|(x,y)\|\to\infty.

Resposta

Ponto crítico: (0,0) — máximo absoluto (global) de f, com valor f(0,0)=0.

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