Determine e classifique os pontos críticos de:
;
Passo 1
O enunciado pede que se determine e classifique os pontos críticos da função
Informações dadas:
- A função é definida para todo par
. - Deve-se encontrar todos os pontos onde o gradiente é nulo (ou onde as derivadas parciais não existem) e dizer se cada ponto é mínimo, máximo, ponto de sela, se é estrito ou não, e se é degenerado ou não.
Passo 2
Definição prática de ponto crítico (lembrete didático):
- Um ponto
é crítico se as derivadas parciais e existem e são simultaneamente zero em .
Vamos calcular as derivadas parciais de.
As derivadas parciais são:
Expliquei: para
derivamos
que dá
, derivamos
em relação a
que dá
, e
é constante em relação a
. O mesmo raciocínio vale trocando variáveis para
.
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos o sistema
As duas equações são idênticas, então a solução é a reta
Portanto todos os pontos da reta
são pontos críticos.]
Passo 4
Agora vamos classificar esses pontos. A ferramenta padrão é a matriz Hessiana (segunda derivadas) e o teste das derivadas segundas.
Calculemos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana é a constante
O determinante da Hessiana é
Explicando o significado: o teste clássico diz que se
e
então temos mínimo local, se
e
então máximo local, se
então ponto de sela. Aqui
— o teste é inconclusivo (degenerado), ou seja, precisamos analisar com mais cuidado.]
Passo 5
Como o teste das derivadas segundas falhou (degenerado), faça uma observação importante: a função
é um polinômio quadrático simples, então podemos tentar reescrevê-la de forma factorizada para entender melhor o comportamento.
Observe que
Essa identidade é obtida completando diretamente o quadrado da soma.
Passo 6
Análise a partir de
:
- Como um quadrado,
para todo . - A igualdade
ocorre exatamente quando , isto é, exatamente sobre a reta de pontos críticos . - Para qualquer ponto que não esteja nessa reta,
.
Isso mostra que cada ponto da reta
atinge o menor possível de
, que é
. Logo, cada ponto dessa reta é um mínimo global da função.
Passo 7
Comentários finais sobre a classificação e sobre ser estrito/degenerado:
- São mínimos globais porque
em todo e exatamente na reta . - Não são mínimos estritos: um mínimo é estrito em um ponto se existe uma vizinhança onde a função toma valor maior nos demais pontos; aqui isso não ocorre porque em qualquer vizinhança de um ponto da reta existem outros pontos da mesma reta (distintos) onde
. Portanto os mínimos não são isolados nem estritos. - São pontos degenerados no sentido de que a Hessiana tem determinante zero (matriz singular), de modo que o teste das derivadas segundas foi inconclusivo — e, de fato, a degenerescência aparece porque a função é constante na direção tangente à reta de mínimos.
Resposta
Pontos críticos:
.
Classificação: todos esses pontos são mínimos globais da função, não são mínimos estritos e são degenerados (Hessiana singular).