Determine e classifique os pontos críticos de:
f(x, y)=x^{2}+2 x y+y^{2};

Passo 1

O enunciado pede que se determine e classifique os pontos críticos da função
f(x,y)=x^{2}+2xy+y^{2}.
Informações dadas:
  • A função é definida para todo par (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • Deve-se encontrar todos os pontos onde o gradiente é nulo (ou onde as derivadas parciais não existem) e dizer se cada ponto é mínimo, máximo, ponto de sela, se é estrito ou não, e se é degenerado ou não.

Passo 2

Definição prática de ponto crítico (lembrete didático):
  • Um ponto (x_{0},y_{0}) é crítico se as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} existem e são simultaneamente zero em (x_{0},y_{0}).
    Vamos calcular as derivadas parciais de f.
As derivadas parciais são:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x+2y,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2x+2y.
Expliquei: para \frac{\partial f}{\partial x} derivamos x^{2} que dá 2x, derivamos 2xy em relação a x que dá 2y, e y^{2} é constante em relação a x. O mesmo raciocínio vale trocando variáveis para \frac{\partial f}{\partial y}.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos o sistema
\begin{cases} 2x+2y=0,\\[4pt] 2x+2y=0. \end{cases}
As duas equações são idênticas, então a solução é a reta
2x+2y=0\quad\Longleftrightarrow\quad x+y=0\quad\Longleftrightarrow\quad y=-x.
Portanto todos os pontos da reta \{(x,y)\mid y=-x\} são pontos críticos.]

Passo 4

Agora vamos classificar esses pontos. A ferramenta padrão é a matriz Hessiana (segunda derivadas) e o teste das derivadas segundas.
Calculemos as segundas derivadas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x,y)=2,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x,y)=2,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(x,y)=2.
A matriz Hessiana é a constante
H=\begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}.
O determinante da Hessiana é
\det H = (2)(2)-(2)^{2}=4-4=0.
Explicando o significado: o teste clássico diz que se \det H>0 e f_{xx}>0 então temos mínimo local, se \det H>0 e f_{xx}<0 então máximo local, se \det H<0 então ponto de sela. Aqui \det H=0 — o teste é inconclusivo (degenerado), ou seja, precisamos analisar com mais cuidado.]

Passo 5

Como o teste das derivadas segundas falhou (degenerado), faça uma observação importante: a função f é um polinômio quadrático simples, então podemos tentar reescrevê-la de forma factorizada para entender melhor o comportamento.
Observe que
f(x,y)=x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}.
Essa identidade é obtida completando diretamente o quadrado da soma.

Passo 6

Análise a partir de \;f(x,y)=(x+y)^{2}:
  • Como um quadrado, (x+y)^{2}\ge 0 para todo (x,y).
  • A igualdade (x+y)^{2}=0 ocorre exatamente quando x+y=0, isto é, exatamente sobre a reta de pontos críticos y=-x.
  • Para qualquer ponto que não esteja nessa reta, (x+y)^{2}>0.
Isso mostra que cada ponto da reta y=-x atinge o menor possível de f, que é 0. Logo, cada ponto dessa reta é um mínimo global da função.

Passo 7

Comentários finais sobre a classificação e sobre ser estrito/degenerado:
  • São mínimos globais porque f(x,y)\ge 0 em todo \mathbb{R}^{2} e f=0 exatamente na reta y=-x.
  • Não são mínimos estritos: um mínimo é estrito em um ponto se existe uma vizinhança onde a função toma valor maior nos demais pontos; aqui isso não ocorre porque em qualquer vizinhança de um ponto da reta existem outros pontos da mesma reta (distintos) onde f=0. Portanto os mínimos não são isolados nem estritos.
  • São pontos degenerados no sentido de que a Hessiana tem determinante zero (matriz singular), de modo que o teste das derivadas segundas foi inconclusivo — e, de fato, a degenerescência aparece porque a função é constante na direção tangente à reta de mínimos.

Resposta

Pontos críticos: \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y=-x\}.
Classificação: todos esses pontos são mínimos globais da função, não são mínimos estritos e são degenerados (Hessiana singular).

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