Determine e classifique os pontos críticos das seguintes funções. Em cada caso, f tem máximo ou mínimo global?
a) f(x, y)=x^{2}-x y+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=x^{2}-x y+y^{2},
e dizer se, em cada caso, existe máximo ou mínimo global.
Informações dadas:
  • A função é a expressão quadrática acima, definida para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • Não há restrições no domínio (domínio é todo \mathbb{R}^{2}).
    As perguntas que vamos responder:
  • Quais são os pontos críticos de f?
  • Cada ponto crítico é máximo local, mínimo local ou ponto de sela?
  • Há máximo ou mínimo global?

Passo 2

Entender o que é ponto crítico e como encontrá-lo (aula rápida):
  • Um ponto (x_0,y_0) é ponto crítico se o gradiente de f em (x_0,y_0) é o vetor nulo ou se derivadas parciais não existem. Aqui as derivadas existem em todo lugar, então procuramos onde o gradiente é zero.
  • O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) \\[4pt]\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\end{pmatrix}.
Vamos calcular as derivadas parciais de forma explícita e simples (explicando cada passo):
Derivada parcial em relação a x: trate y como constante e derive x^{2}-x y+y^{2} em relação a x. A derivada de x^{2} é 2x; a de -x y é -y (pois é -y vezes x); a de y^{2} é 0 (constante):
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x-y.
Derivada parcial em relação a y: trate x como constante. A derivada de x^{2} é 0; a de -x y é -x; a de y^{2} é 2y:
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-x+2y.]

Passo 3

Encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema \nabla f(x,y)=\mathbf{0}\). Escrevendo o sistema: \[\begin{cases} 2x-y=0,\\[4pt] -x+2y=0. \end{cases}
Resolver passo a passo: da primeira equação obtemos y=2x\]. Substituindo na segunda: \[-x+2(2x)=-x+4x=3x=0.\] Portanto \(x=0. Com x=0 e y=2x segue y=0. Assim há um único ponto crítico:
(x,y)=(0,0).]

Passo 4

Como classificar esse ponto? Vamos usar o teste de segunda derivada para funções de duas variáveis (a ideia e a fórmula):
  • Monta-se a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas:
H_f(x,y)=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} \\[6pt] \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
  • Para uma matriz Hessiana 2\times2 simétrica, o teste dos menores principais diz: se o primeiro menor principal D_1= entrada (1,1) é positivo e o determinante D_2=\det H é positivo, então a matriz é definida positiva e o ponto é um mínimo local. Se D_1<0 e D_2>0 então é máximo local. Se D_2<0 é ponto de sela. (Se D_2=0 o teste é inconclusivo.)
    Vamos calcular as segundas derivadas explicitamente:
\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)=2,\qquad \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)=-1,
\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(x,y)=-1,\qquad \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)=2.
Logo a Hessiana é
H_f(x,y)=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix},
que é independente de (x,y) (porque f é quadrática).]

Passo 5

Aplicar o teste dos menores principais no ponto crítico (0,0). Calcular:
D_{1} = 2 > 0,
D_{2} = \det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix} = 2\cdot 2 - (-1)\cdot(-1) = 4-1=3>0.
Como D_{1}>0 e D_{2}>0, a Hessiana é definida positiva. Pelo teste isso implica que o ponto crítico (0,0) é um mínimo local.]

Passo 6

Agora mostrar que esse mínimo local é, na verdade, mínimo global (explicação e argumento prático — completar quadrado):
  • Uma maneira clara e direta de ver que f(x,y) nunca fica abaixo de 0 é escrever f como soma de quadrados (completar o quadrado). Fazer isso passo a passo:
f(x,y)=x^{2}-x y+y^{2} = \left(x-\dfrac{y}{2}\right)^{2} + y^{2}-\dfrac{y^{2}}{4}.
Reescrevendo o termo restante:
y^{2}-\dfrac{y^{2}}{4}=\dfrac{3}{4}y^{2}.
Assim
f(x,y)=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4}y^{2}.
  • Cada termo à direita é um quadrado (ou múltiplo positivo de um quadrado), logo é sempre não negativo. Portanto f(x,y)\ge 0 para todo (x,y).
  • A igualdade f(x,y)=0 ocorre se, e somente se, ambos os termos forem zero simultaneamente, isto é
\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^{2}=0\quad\text{e}\quad \dfrac{3}{4}y^{2}=0,
o que implica y=0 e então x=0. Logo o único ponto onde f atinge o valor mínimo 0 é (0,0).
  • Como f(x,y)\ge 0 em todo \mathbb{R}^{2} e atinge 0 em (0,0), esse mínimo é global.

Passo 7

Sobre existência de máximo global:
  • A expressão é quadrática positiva em crescimento (os termos quadráticos fazem f(x,y)\to+\infty quando \|(x,y)\|\to\infty), logo f não é limitada superiormente nem alcança um máximo global. Por exemplo, ao tomar x=t,\\ y=0 com t\to+\infty tem-se f(t,0)=t^{2}\to+\infty. Portanto não existe máximo global.

Resposta

Ponto crítico: (0,0) — mínimo global com valor f(0,0)=0.
Não existe máximo global.

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