Determine e classifique os pontos críticos das seguintes funções. Em cada caso, f tem máximo ou mínimo global?
a) f(x, y)=x^{2}-x y+y^{2}
Passo 1
O enunciado pede para determinar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=x^{2}-x y+y^{2},
e dizer se, em cada caso, existe máximo ou mínimo global.
Informações dadas:
A função é a expressão quadrática acima, definida para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
Não há restrições no domínio (domínio é todo \mathbb{R}^{2}).
As perguntas que vamos responder:
Quais são os pontos críticos de f?
Cada ponto crítico é máximo local, mínimo local ou ponto de sela?
Há máximo ou mínimo global?
Passo 2
Entender o que é ponto crítico e como encontrá-lo (aula rápida):
Um ponto (x_0,y_0) é ponto crítico se o gradiente de f em (x_0,y_0) é o vetor nulo ou se derivadas parciais não existem. Aqui as derivadas existem em todo lugar, então procuramos onde o gradiente é zero.
Vamos calcular as derivadas parciais de forma explícita e simples (explicando cada passo):
Derivada parcial em relação a x: trate y como constante e derive x^{2}-x y+y^{2} em relação a x. A derivada de x^{2} é 2x; a de -x y é -y (pois é -y vezes x); a de y^{2} é 0 (constante):
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x-y.
Derivada parcial em relação a y: trate x como constante. A derivada de x^{2} é 0; a de -x y é -x; a de y^{2} é 2y:
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-x+2y.]
Passo 3
Encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema \nabla f(x,y)=\mathbf{0}\). Escrevendo o sistema:
\[\begin{cases} 2x-y=0,\\[4pt] -x+2y=0. \end{cases}
Resolver passo a passo: da primeira equação obtemos y=2x\]. Substituindo na segunda:
\[-x+2(2x)=-x+4x=3x=0.\]
Portanto \(x=0. Com x=0 e y=2x segue y=0. Assim há um único ponto crítico:
(x,y)=(0,0).]
Passo 4
Como classificar esse ponto? Vamos usar o teste de segunda derivada para funções de duas variáveis (a ideia e a fórmula):
Monta-se a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas:
Para uma matriz Hessiana 2\times2 simétrica, o teste dos menores principais diz: se o primeiro menor principal D_1= entrada (1,1) é positivo e o determinante D_2=\det H é positivo, então a matriz é definida positiva e o ponto é um mínimo local. Se D_1<0 e D_2>0 então é máximo local. Se D_2<0 é ponto de sela. (Se D_2=0 o teste é inconclusivo.)
Vamos calcular as segundas derivadas explicitamente:
Como D_{1}>0 e D_{2}>0, a Hessiana é definida positiva. Pelo teste isso implica que o ponto crítico (0,0) é um mínimo local.]
Passo 6
Agora mostrar que esse mínimo local é, na verdade, mínimo global (explicação e argumento prático — completar quadrado):
Uma maneira clara e direta de ver que f(x,y) nunca fica abaixo de 0 é escrever f como soma de quadrados (completar o quadrado). Fazer isso passo a passo:
o que implica y=0 e então x=0. Logo o único ponto onde f atinge o valor mínimo 0 é (0,0).
Como f(x,y)\ge 0 em todo \mathbb{R}^{2} e atinge 0 em (0,0), esse mínimo é global.
Passo 7
Sobre existência de máximo global:
A expressão é quadrática positiva em crescimento (os termos quadráticos fazem f(x,y)\to+\infty quando \|(x,y)\|\to\infty), logo f não é limitada superiormente nem alcança um máximo global. Por exemplo, ao tomar x=t,\\ y=0 com t\to+\infty tem-se f(t,0)=t^{2}\to+\infty. Portanto não existe máximo global.
Resposta
Ponto crítico: (0,0) — mínimo global com valor f(0,0)=0.
Não existe máximo global.