Justifique se o limite existe ou não. Em caso de existir, calcule o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse problema está trabalhando com limites de funções de duas variáveis, ou seja, estamos vendo o que acontece quando
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites e algumas aproximações trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que quando
se aproxima de
, o valor de
está se aproximando de
. Então, podemos pensar que, perto desse ponto,
é aproximadamente igual a
. Isso nos ajuda a simplificar a expressão dentro do seno.
Passo 3
Com essa aproximação, a função dentro do seno fica
. Então, temos:
Passo 4
Agora, substituímos isso de volta na nossa expressão original do limite:
Note que agora o limite depende apenas de
.
Passo 5
Sabemos que
. Podemos usar essa propriedade aqui, mas precisamos ajustar a expressão para se encaixar nessa forma. Vamos reescrever o limite:
Passo 6
Aplicando a propriedade do limite que mencionamos:
Portanto:
Resposta
O limite existe e seu valor é
.