Justifique se o limite existe ou não. Em caso de existir, calcule o limite.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,2)} \frac{\sin (x y)}{x}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: \lim _{(x, y) \rightarrow(0,2)} \frac{\sin (x y)}{x}. Esse problema está trabalhando com limites de funções de duas variáveis, ou seja, estamos vendo o que acontece quando (x, y) se aproxima de (0,2). Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites e algumas aproximações trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que quando (x, y) se aproxima de (0,2), o valor de y está se aproximando de 2. Então, podemos pensar que, perto desse ponto, y é aproximadamente igual a 2. Isso nos ajuda a simplificar a expressão dentro do seno.

Passo 3

Com essa aproximação, a função dentro do seno fica x y \approx x \cdot 2 = 2x. Então, temos:
\sin(x y) \approx \sin(2x)

Passo 4

Agora, substituímos isso de volta na nossa expressão original do limite:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(2x)}{x}
Note que agora o limite depende apenas de x.

Passo 5

Sabemos que \lim_{u \rightarrow 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1. Podemos usar essa propriedade aqui, mas precisamos ajustar a expressão para se encaixar nessa forma. Vamos reescrever o limite:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(2x)}{x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot 2 = 2 \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(2x)}{2x}

Passo 6

Aplicando a propriedade do limite que mencionamos:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(2x)}{2x} = 1
Portanto:
2 \cdot 1 = 2

Resposta

O limite existe e seu valor é 2.

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