Determine se as seguintes funções são diferenciáveis para todo (x, y) in R^2
(b)
f(x, y)= x y(x^2-y^2)x^2+2 y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a função $ f(x, y) $ é diferenciável em todo ponto do plano $ \mathbb{R}^2 $. O conteúdo envolve cálculo multivariável, especialmente o conceito de diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar verificar a existência das derivadas parciais e ver se a função se comporta bem em torno de cada ponto, especialmente no ponto $ (0, 0) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função $ f(x, y) $ é diferenciável em $ (a, b) $ se ela pode ser aproximada linearmente perto desse ponto. Isso envolve que as derivadas parciais de $ f $ existam e sejam contínuas em $ (a, b) $.

Passo 3

Vamos analisar a função $ f(x, y) $. Para $ (x, y) \neq (0, 0) $, a função é dada por:
f(x, y)
E no ponto $ (0, 0) $, $ f(0, 0) = 0 $.

Passo 4

Primeiro, vamos verificar a diferenciabilidade em pontos que não são $ (0, 0) $. Nessas regiões, a função é composta por operações de funções diferenciáveis (produtos, somas e divisões onde o denominador não é zero), então $ f(x, y) $ é diferenciável em todo $ \mathbb{R}^2 $ menos possivelmente em $ (0, 0) $.

Passo 5

Agora, o foco principal é o ponto $ (0, 0) $. Para verificar se $ f $ é diferenciável nesse ponto, precisamos verificar se as derivadas parciais existem e se a função se aproxima linearmente de sua tangente nesse ponto.

Passo 6

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em $ (0, 0) $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
f
A derivada parcial em relação a $ y $ é:
(0, 0)

Passo 7

Com as derivadas parciais sendo zero em $ (0, 0) $, precisamos verificar se a função se aproxima linearmente dessa tangente, ou seja:
(0, 0)
Como $ f(0,0) = 0 $ e as derivadas parciais são zero, isso simplifica para:
lim(h, k) to (0, 0) f(h, k) - f(0, 0) - fx(0,0) h - fy(0,0) kraizh^2 + k^2 = 0

Passo 8

Vamos substituir $ f(h, k) $:
f(h, k)
Agora, vamos avaliar o limite dessa expressão quando $ (h, k) \to (0, 0) $.

Passo 9

Para facilitar, usamos coordenadas polares: $ h = r \cos \theta $, $ k = r \sin \theta $, onde $ r = \sqrt{h^2 + k^2} $. Substituindo:
h = r cos theta

Passo 10

Observando a expressão, vemos que $ r $ está multiplicando uma função limitada de $ \theta $. Quando $ r \to 0 $, o numerador tende a zero, já que $ r $ vai a zero, e o denominador permanece limitado. Portanto, o limite inteiro tende a zero.

Passo 11

Como o limite acima é zero, concluímos que a função $ f(x, y) $ é diferenciável no ponto $ (0, 0) $.

Resposta

A função $ f(x, y) $ é diferenciável para todo $ (x, y) \in \mathbb{R}^2 $.

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