Determine se as seguintes funções são diferenciáveis para todo
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a função $ f(x, y) $ é diferenciável em todo ponto do plano $ \mathbb{R}^2 $. O conteúdo envolve cálculo multivariável, especialmente o conceito de diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar verificar a existência das derivadas parciais e ver se a função se comporta bem em torno de cada ponto, especialmente no ponto $ (0, 0) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função $ f(x, y) $ é diferenciável em $ (a, b) $ se ela pode ser aproximada linearmente perto desse ponto. Isso envolve que as derivadas parciais de $ f $ existam e sejam contínuas em $ (a, b) $.
Passo 3
Vamos analisar a função $ f(x, y) $. Para $ (x, y) \neq (0, 0) $, a função é dada por:
E no ponto $ (0, 0) $, $ f(0, 0) = 0 $.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar a diferenciabilidade em pontos que não são $ (0, 0) $. Nessas regiões, a função é composta por operações de funções diferenciáveis (produtos, somas e divisões onde o denominador não é zero), então $ f(x, y) $ é diferenciável em todo $ \mathbb{R}^2 $ menos possivelmente em $ (0, 0) $.
Passo 5
Agora, o foco principal é o ponto $ (0, 0) $. Para verificar se $ f $ é diferenciável nesse ponto, precisamos verificar se as derivadas parciais existem e se a função se aproxima linearmente de sua tangente nesse ponto.
Passo 6
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em $ (0, 0) $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
A derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 7
Com as derivadas parciais sendo zero em $ (0, 0) $, precisamos verificar se a função se aproxima linearmente dessa tangente, ou seja:
Como $ f(0,0) = 0 $ e as derivadas parciais são zero, isso simplifica para:
Passo 8
Vamos substituir $ f(h, k) $:
Agora, vamos avaliar o limite dessa expressão quando $ (h, k) \to (0, 0) $.
Passo 9
Para facilitar, usamos coordenadas polares: $ h = r \cos \theta $, $ k = r \sin \theta $, onde $ r = \sqrt{h^2 + k^2} $. Substituindo:
Passo 10
Observando a expressão, vemos que $ r $ está multiplicando uma função limitada de $ \theta $. Quando $ r \to 0 $, o numerador tende a zero, já que $ r $ vai a zero, e o denominador permanece limitado. Portanto, o limite inteiro tende a zero.
Passo 11
Como o limite acima é zero, concluímos que a função $ f(x, y) $ é diferenciável no ponto $ (0, 0) $.
Resposta
A função $ f(x, y) $ é diferenciável para todo $ (x, y) \in \mathbb{R}^2 $.