Determine e classifique os valores extremais das funções definidas na região indicada: f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}+1\right)-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\,,D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq 1\right\},
Determinar os valores extremos de f em D (mínimos e máximos).
Classificar esses extremos (onde ocorrem, se são globais/locais, se são estritos ou não).
Informações relevantes dadas:
A região D é o disco fechado de raio 1 (inclui a fronteira).
A função f está bem definida para todo (x,y) em D (observe que o radicando 1-x^{2}-y^{2} é \geq 0 em D).
Passo 2
Existência de extremos globais: como D é um conjunto compacto (fechado e limitado) e f é contínua em D (soma de funções contínuas: logaritmo composto com polinômio e raiz quadrada com polinômio), o Teorema de Weierstrass garante que f assume um mínimo global e um máximo global em D. Portanto faz sentido procurar pontos onde esses extremos ocorrem.
Passo 3
Observação que simplifica muito: f depende apenas de r^{2}=x^{2}+y^{2}. Defina
Assim o problema de encontrar extremos de f em D reduz-se a encontrar extremos da função unidimensional g em [0,1]. Essa redução é válida porque todos os pontos com mesma r têm o mesmo valor de f.
Passo 4
Calcule a derivada de g (explicando cada passo):
Derivada de \ln(r^{2}+1) por r usa a regra da cadeia:
Para r\in(0,1) ambos os termos dentro do parêntese são positivos (denominadores positivos), logo a soma é positiva. Assim g'(r)>0 para todo r\in(0,1).
Portanto a única solução de g'(r)=0 em [0,1] é r=0. Os extremos em [0,1] só podem ocorrer em r=0 (ponto crítico interior) ou nas extremidades r=1 (fronteira).
Passo 6
Classificação do ponto crítico r=0: calcular g''(0) para ver se é mínimo ou máximo.
Primeiro calcule g''(r) de forma suficiente para avaliar em r=0. Derivando termo a termo:
Como g''(0)=3>0, isso indica que g tem um mínimo estrito em r=0. Consequentemente f tem um mínimo estrito no ponto correspondente (x,y)=(0,0).
Passo 7
Valores numéricos nos candidatos:
Em r=0 (origem):
f(0,0)=\ln(0+1)-\sqrt{1-0}=0-1=-1.
Em r=1 (fronteira do disco): como r^{2}=1 temos \sqrt{1-r^{2}}=0 e
f(x,y)=\ln(1+1)-0=\ln 2
para qualquer (x,y) com x^{2}+y^{2}=1. Logo todos os pontos da circunferência de raio 1 fornecem o mesmo valor \ln 2.
Observação monotonicidade: como g'(r)>0 em (0,1), g é crescente em [0,1]. Portanto o menor valor ocorre em r=0 e o maior em r=1.
Passo 8
Conclusões e classificação:
O mínimo global de f em D é estrito e ocorre unicamente em (0,0), com valor f(0,0)=-1.
O máximo global de f em D é alcançado em toda a fronteira x^{2}+y^{2}=1; o valor máximo é f(x,y)=\ln 2 para todo ponto da circunferência. Esse máximo não é estrito (há infinitos pontos que o atingem).
Resposta
Mínimo global estrito: em (0,0) com valor -1.
Máximo global (não estrito): em todos os pontos com x^{2}+y^{2}=1, com valor \ln 2.