Determine e classifique os valores extremais das funções definidas na região indicada:
f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}+1\right)-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\,, D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq 1\right\},

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y)=\ln\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}
definida na região
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\}.
O que se pede:
  • Determinar os valores extremos de f em D (mínimos e máximos).
  • Classificar esses extremos (onde ocorrem, se são globais/locais, se são estritos ou não).
Informações relevantes dadas:
  • A região D é o disco fechado de raio 1 (inclui a fronteira).
  • A função f está bem definida para todo (x,y) em D (observe que o radicando 1-x^{2}-y^{2} é \geq 0 em D).

Passo 2

Existência de extremos globais: como D é um conjunto compacto (fechado e limitado) e f é contínua em D (soma de funções contínuas: logaritmo composto com polinômio e raiz quadrada com polinômio), o Teorema de Weierstrass garante que f assume um mínimo global e um máximo global em D. Portanto faz sentido procurar pontos onde esses extremos ocorrem.

Passo 3

Observação que simplifica muito: f depende apenas de r^{2}=x^{2}+y^{2}. Defina
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad 0\le r\le 1.
Então podemos escrever f em função de r apenas:
g(r)=f(x,y)=\ln\bigl(r^{2}+1\bigr)-\sqrt{1-r^{2}},\qquad r\in[0,1].
Assim o problema de encontrar extremos de f em D reduz-se a encontrar extremos da função unidimensional g em [0,1]. Essa redução é válida porque todos os pontos com mesma r têm o mesmo valor de f.

Passo 4

Calcule a derivada de g (explicando cada passo):
  • Derivada de \ln(r^{2}+1) por r usa a regra da cadeia:
\frac{d}{dr}\ln(r^{2}+1)=\frac{1}{r^{2}+1}\cdot 2r=\frac{2r}{r^{2}+1}.
  • Derivada de -\sqrt{1-r^{2}}: primeiro \sqrt{1-r^{2}}=(1-r^{2})^{1/2}, então
\frac{d}{dr}\bigl(-\sqrt{1-r^{2}}\bigr)=-\frac{1}{2}(1-r^{2})^{-1/2}\cdot(-2r)=\frac{r}{\sqrt{1-r^{2}}}.
Somando as duas partes obtém-se
g'(r)=\frac{2r}{r^{2}+1}+\frac{r}{\sqrt{1-r^{2}}}.

Passo 5

Determinar pontos críticos de g em (0,1) e analisar extremos em [0,1]:
  • Factorizando r em g'(r):
g'(r)=r\left(\frac{2}{r^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{1-r^{2}}}\right).
  • Para r\in(0,1) ambos os termos dentro do parêntese são positivos (denominadores positivos), logo a soma é positiva. Assim g'(r)>0 para todo r\in(0,1).
  • Portanto a única solução de g'(r)=0 em [0,1] é r=0. Os extremos em [0,1] só podem ocorrer em r=0 (ponto crítico interior) ou nas extremidades r=1 (fronteira).

Passo 6

Classificação do ponto crítico r=0: calcular g''(0) para ver se é mínimo ou máximo.
  • Primeiro calcule g''(r) de forma suficiente para avaliar em r=0. Derivando termo a termo:
    • Derivada do primeiro termo \dfrac{2r}{r^{2}+1}:
    \frac{d}{dr}\left(\frac{2r}{r^{2}+1}\right) =\frac{2(r^{2}+1)-2r\cdot 2r}{(r^{2}+1)^{2}} =\frac{2(1-r^{2})}{(r^{2}+1)^{2}}.
    • Derivada do segundo termo \dfrac{r}{\sqrt{1-r^{2}}}:
    \frac{d}{dr}\left(\frac{r}{\sqrt{1-r^{2}}}\right) =(1-r^{2})^{-1/2}+r^{2}(1-r^{2})^{-3/2}.
  • Somando e avaliando em r=0:
g''(0)=\left.\frac{2(1-r^{2})}{(r^{2}+1)^{2}}\right|_{r=0}+\left.(1-r^{2})^{-1/2}+r^{2}(1-r^{2})^{-3/2}\right|_{r=0}=2+1=3.
Como g''(0)=3>0, isso indica que g tem um mínimo estrito em r=0. Consequentemente f tem um mínimo estrito no ponto correspondente (x,y)=(0,0).

Passo 7

Valores numéricos nos candidatos:
  • Em r=0 (origem):
f(0,0)=\ln(0+1)-\sqrt{1-0}=0-1=-1.
  • Em r=1 (fronteira do disco): como r^{2}=1 temos \sqrt{1-r^{2}}=0 e
f(x,y)=\ln(1+1)-0=\ln 2
para qualquer (x,y) com x^{2}+y^{2}=1. Logo todos os pontos da circunferência de raio 1 fornecem o mesmo valor \ln 2.
  • Observação monotonicidade: como g'(r)>0 em (0,1), g é crescente em [0,1]. Portanto o menor valor ocorre em r=0 e o maior em r=1.

Passo 8

Conclusões e classificação:
  • O mínimo global de f em D é estrito e ocorre unicamente em (0,0), com valor f(0,0)=-1.
  • O máximo global de f em D é alcançado em toda a fronteira x^{2}+y^{2}=1; o valor máximo é f(x,y)=\ln 2 para todo ponto da circunferência. Esse máximo não é estrito (há infinitos pontos que o atingem).

Resposta

Mínimo global estrito: em (0,0) com valor -1.
Máximo global (não estrito): em todos os pontos com x^{2}+y^{2}=1, com valor \ln 2.

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