Determine e classifique os valores extremais das funções definidas na região indicada:
f(x, y)=x^{2}+y^{2}-4 x y^{2}, D_{1}(0,0).

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}-4xy^{2}
e a região indicada \,D_{1}(0,0)\, (assumir-se-á o disco de raio 1 centrado em (0,0), ou seja \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}).
O que o problema pede:
  • Determinar todos os pontos críticos de f dentro de D_{1}(0,0) e classificá‑los (mínimo, máximo, sela).
  • Verificar a fronteira \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\} para encontrar extremos globais sobre o disco e comparar com valores interiores para identificar máximo e mínimo globais.
Todas as informações relevantes dadas: a expressão de f e a região unitária centrada na origem.

Passo 2

Procura de pontos críticos interiores (estacionários). Explicação curta da ideia: pontos críticos interiores são pontos onde o gradiente de f é o vetor nulo; isto significa que as derivadas parciais devem ser zero. Isto porque, num ponto interior, se todas as direções derivadas fossem não nulas poderíamos mover e variar f.
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-4y^{2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y-8xy.
Impondo o sistema \nabla f=(0,0):
2x-4y^{2}=0, \qquad 2y-8xy=0.

Passo 3

Resolver o sistema de equações para achar os pontos críticos. Desenvolvendo com calma:
Da primeira equação:
2x-4y^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x=2y^{2}.
Da segunda equação fatorando:
2y-8xy=2y(1-4x)=0.
Assim as possibilidades são:
  • 2y=0\Rightarrow y=0, ou
  • 1-4x=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{4}.
Caso y=0: pela relação x=2y^{2} vem x=0. Logo um ponto crítico é
(0,0).
Caso x=\dfrac{1}{4}: pela relação x=2y^{2} obtemos
\dfrac{1}{4}=2y^{2}\quad\Rightarrow\quad y^{2}=\dfrac{1}{8}\quad\Rightarrow\quad y=\pm\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.
Logo dois pontos críticos adicionais são
\left(\dfrac{1}{4},\pm\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\right).
Verificação de pertencimento ao disco: para estes pontos
x^{2}+y^{2}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{16}<1,
portanto estão dentro de D_{1}(0,0).

Passo 4

Classificação dos pontos críticos pelo teste da Hessiana. Explicando o teste: a matriz Hessiana é formada pelas segundas derivadas; para um ponto crítico interior, se o determinante da Hessiana D>0 e f_{xx}>0 então é mínimo local; se D>0 e f_{xx}<0 é máximo local; se D<0 é ponto de sela.
Calcule as segundas derivadas:
f_{xx}=2,\qquad f_{yy}=2-8x,\qquad f_{xy}=f_{yx}=-8y.
Determinante da Hessiana:
D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=2(2-8x)-(-8y)^{2}=4-16x-64y^{2}.
Avaliar em cada ponto crítico:
  1. Em (0,0):
D=4-0-0=4>0,\qquad f_{xx}=2>0.
Conclusão: (0,0) é um mínimo local. Valor:
f(0,0)=0.
  1. Em \left(\dfrac{1}{4},\pm\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\right). Use x=\dfrac{1}{4} e y^{2}=\dfrac{1}{8}:
D=4-16\cdot\dfrac{1}{4}-64\cdot\dfrac{1}{8}=4-4-8=-8<0.
Como D<0, estes pontos são pontos de sela (saddle points), portanto não são máximos nem mínimos locais. Valor em tais pontos:
f\!\left(\dfrac{1}{4},\pm\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\right) =\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}+\dfrac{1}{8}-4\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{8} =\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{16}.

Passo 5

Agora verificar a fronteira x^{2}+y^{2}=1 para potenciais extremos globais sobre o disco. Explicando a ideia: num conjunto fechado e limitado (como o disco fechado) extremos globais existem; podem acontecer em pontos críticos interiores ou na fronteira; já avaliamos interiores, falta a fronteira.
Parametrize a fronteira por \,x=\cos t,\; y=\sin t com t\in[0,2\pi). Defina a função univariada
g(t)=f(\cos t,\sin t)=\cos^{2}t+\sin^{2}t-4\cos t\sin^{2}t=1-4\cos t\sin^{2}t.
Para achar extremos de g calculamos g'(t). Usando identidades trigonométricas (explico rapidamente: derivada de -\cos t é +\sin t; derivada de \cos 3t é -3\sin 3t, etc.), uma forma conveniente é reescrever g como
g(t)=1-\cos t+\cos 3t,
o que vem de manipulações trigonométricas (detalhe: 1-4\cos t\sin^{2}t=1-2\cos t+2\cos t\cos 2t=1-\cos t+\cos 3t). Diferenciando:
g'(t)=\sin t-3\sin 3t.
Usando \sin 3t=3\sin t-4\sin^{3}t obtemos
g'(t)=\sin t-3(3\sin t-4\sin^{3}t)=-8\sin t+12\sin^{3}t=4\sin t(-2+3\sin^{2}t).
Logo g'(t)=0 quando:
\sin t=0\quad\text{ou}\quad \sin^{2}t=\dfrac{2}{3}.
Resolver esses casos e calcular os pontos e valores:
  • Caso \sin t=0: isso dá (x,y)=(\pm 1,0). Em ambos:
f(\pm 1,0)=1.
  • Caso \sin^{2}t=\dfrac{2}{3}. Então \sin^{2}t=\dfrac{2}{3} e \cos^{2}t=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}, logo \cos t=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}} e y^{2}=\dfrac{2}{3}. Na fronteira a soma x^{2}+y^{2}=1 e portanto
f(x,y)=1-4x y^{2}=1-4x\cdot\dfrac{2}{3}=1-\dfrac{8x}{3}.
Assim:
\text{se }x=+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow f=1-\dfrac{8}{3\sqrt{3}}, \qquad \text{se }x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow f=1+\dfrac{8}{3\sqrt{3}}.
Numericamente, 1-\dfrac{8}{3\sqrt{3}}\approx -0{,}5396 e 1+\dfrac{8}{3\sqrt{3}}\approx 2{,}5396.
Portanto, na fronteira os candidatos a extremos são os pontos
\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right) \quad\text{com }f=1-\dfrac{8}{3\sqrt{3}},
e
\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}},\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right) \quad\text{com }f=1+\dfrac{8}{3\sqrt{3}},
além de (\pm 1,0) com f=1.

Passo 6

Comparar todos os valores obtidos para concluir os extremos globais sobre o disco fechado:
Valores encontrados:
f(0,0)=0,\quad f\!\left(\dfrac{1}{4},\pm\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\right)=\dfrac{1}{16},\quad f(\pm1,0)=1,
f\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)=1-\dfrac{8}{3\sqrt{3}}\approx -0{,}5396,
f\!\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}},\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)=1+\dfrac{8}{3\sqrt{3}}\approx 2{,}5396.
Logo o menor valor entre esses é 1-\dfrac{8}{3\sqrt{3}} (negativo) e o maior é 1+\dfrac{8}{3\sqrt{3}}. Assim o mínimo global ocorre na fronteira nos pontos com x=+\dfrac{1}{\sqrt{3}} e o máximo global ocorre na fronteira nos pontos com x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Os pontos interiores classificados antes mantêm suas naturezas locais (mínimo local em (0,0); selas nos pontos com x=\tfrac{1}{4}).

Resposta

Mínimo global: \displaystyle 1-\dfrac{8}{3\sqrt{3}}, atingido em \displaystyle\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right).\n
Máximo global: \displaystyle 1+\dfrac{8}{3\sqrt{3}}, atingido em \displaystyle\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}},\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right).\n
Ponto crítico interior (0,0): mínimo local com f(0,0)=0.\n
Pontos \displaystyle\left(\dfrac{1}{4},\pm\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\right): pontos de sela (não são extremos), com f=\dfrac{1}{16}.

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