Determine e classifique os valores extremais das funções definidas na região indicada:
,
.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e a região indicada
(assumir-se-á o disco de raio
centrado em
, ou seja
).
O que o problema pede:
O que o problema pede:
- Determinar todos os pontos críticos de
dentro de e classificá‑los (mínimo, máximo, sela). - Verificar a fronteira
para encontrar extremos globais sobre o disco e comparar com valores interiores para identificar máximo e mínimo globais.
Todas as informações relevantes dadas: a expressão de
e a região unitária centrada na origem.
Passo 2
Procura de pontos críticos interiores (estacionários). Explicação curta da ideia: pontos críticos interiores são pontos onde o gradiente de
é o vetor nulo; isto significa que as derivadas parciais devem ser zero. Isto porque, num ponto interior, se todas as direções derivadas fossem não nulas poderíamos mover e variar
.
Calcule as derivadas parciais:
Impondo o sistema
:
Passo 3
Resolver o sistema de equações para achar os pontos críticos. Desenvolvendo com calma:
Da primeira equação:
Da segunda equação fatorando:
Assim as possibilidades são:
-
, ou -
.
Caso
: pela relação
vem
. Logo um ponto crítico é
Caso
: pela relação
obtemos
Logo dois pontos críticos adicionais são
Verificação de pertencimento ao disco: para estes pontos
portanto estão dentro de
.
Passo 4
Classificação dos pontos críticos pelo teste da Hessiana. Explicando o teste: a matriz Hessiana é formada pelas segundas derivadas; para um ponto crítico interior, se o determinante da Hessiana
e
então é mínimo local; se
e
é máximo local; se
é ponto de sela.
Calcule as segundas derivadas:
Determinante da Hessiana:
Avaliar em cada ponto crítico:
- Em
:
Conclusão:
é um mínimo local. Valor:
- Em
. Use e :
Como
, estes pontos são pontos de sela (saddle points), portanto não são máximos nem mínimos locais. Valor em tais pontos:
Passo 5
Agora verificar a fronteira
para potenciais extremos globais sobre o disco. Explicando a ideia: num conjunto fechado e limitado (como o disco fechado) extremos globais existem; podem acontecer em pontos críticos interiores ou na fronteira; já avaliamos interiores, falta a fronteira.
Parametrize a fronteira por
com
. Defina a função univariada
Para achar extremos de
calculamos
. Usando identidades trigonométricas (explico rapidamente: derivada de
é
; derivada de
é
, etc.), uma forma conveniente é reescrever
como
o que vem de manipulações trigonométricas (detalhe:
). Diferenciando:
Usando
obtemos
Logo
quando:
Resolver esses casos e calcular os pontos e valores:
- Caso
: isso dá . Em ambos:
- Caso
. Então e , logo e . Na fronteira a soma e portanto
Assim:
Numericamente,
e
.
Portanto, na fronteira os candidatos a extremos são os pontos
e
além de
com
.
Passo 6
Comparar todos os valores obtidos para concluir os extremos globais sobre o disco fechado:
Valores encontrados:
Logo o menor valor entre esses é
(negativo) e o maior é
. Assim o mínimo global ocorre na fronteira nos pontos com
e o máximo global ocorre na fronteira nos pontos com
. Os pontos interiores classificados antes mantêm suas naturezas locais (mínimo local em
; selas nos pontos com
).
Resposta
Mínimo global:
, atingido em
.\n
Máximo global: , atingido em
.\n
Ponto crítico interior : mínimo local com
.\n
Pontos : pontos de sela (não são extremos), com
.
Máximo global:
Ponto crítico interior
Pontos