Determine e classifique os valores extremais das funções definidas na região indicada: \quad f(x, y)=x^{2}-y^{2},D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ;|x|+|y| \leq 1\right\}
Passo 1
O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}
f(x,y)=x^{2}-y^{2}
e o domínio fechado/fechado-convexo
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\;:\;|x|+|y|\leq 1\}.
O que se pede:
Determinar os valores extremos (máximos e mínimos) de f sobre D.
Classificar esses extremos (onde ocorrem, quais são globais/localmente, e identificar pontos críticos interiores se houver).
Informações relevantes do enunciado:
O domínio D é o losango (diamante) com vértices (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1).
A função f é dada por f(x,y)=x^{2}-y^{2}.
Passo 2
Primeiro passo técnico: justificar que extremos existem. Explicação didática: uma função contínua em um conjunto compacto (fechado e limitado) atinge máximo e mínimo. Aqui f é um polinômio (logo contínua) e D é fechado e limitado, logo há pelo menos um máximo e um mínimo globais em D. Portanto faz sentido procurar pontos críticos interiores e estudar a fronteira.
Passo 3
Procurar pontos críticos no interior de D. Vamos calcular o gradiente e ver onde ele se anula. Lembrete didático: o gradiente \nabla f reúne as derivadas parciais; pontos onde \nabla f=0 são candidatos a extremos interiores.
Logo há um único ponto crítico interior: (0,0). O valor da função nesse ponto é
f(0,0)=0.
Passo 4
Classificar o ponto crítico (0,0). Lembrete didático: para funções duas variáveis, a matriz Hessiana ajuda a classificar pontos críticos; se a Hessiana é indefinida (autovalores de sinais opostos), o ponto é sela (não é extremo). Calcular a Hessiana:
Os autovalores são 2 e -2, sinais opostos, logo a Hessiana é indefinida. Conclusão: (0,0) é um ponto de sela (saddle point), portanto não é mínimo nem máximo local nem global.]
Passo 5
Agora estudar a fronteira \partial D, onde |x|+|y|=1. Explicação didática: a fronteira é a união de quatro segmentos retos (quatro arestas do losango). Em cada aresta podemos parametrizar por x (ou por uma variável) e reduzir o problema a estudar uma função de uma variável no intervalo correspondente — isso é prático para provas sem calculadora.
Listar as quatro arestas com suas equações (cada aresta corresponde a um quadrante):
Primeiro quadrante (x\ge0,y\ge0): x+y=1\Rightarrow y=1-x, com 0\le x\le1.
Segundo quadrante (x\le0,y\ge0): -x+y=1\Rightarrow y=1+x, com -1\le x\le0.
Isto é uma função afim de x em [0,1]. Em x=0 vale 2\cdot0-1=-1 e em x=1 vale 2\cdot1-1=1. Como é linear, o mínimo na aresta ocorre em x=0 e o máximo em x=1. Assim nesta aresta:
mínimo: valor -1 em (0,1);
máximo: valor 1 em (1,0).
Passo 7
Analisar a segunda aresta (y=1+x,\;-1\le x\le0). Substituindo:
f(x,1+x)=x^{2}-(1+x)^{2}.
Calcular:
(1+x)^{2}=1+2x+x^{2},
logo
f(x,1+x)=x^{2}-(1+2x+x^{2})=-1-2x.
Para x em [-1,0] isso varia de 1 (em x=-1) até -1 (em x=0). Portanto nesta aresta:
valor 1 em (-1,0);
valor -1 em (0,1).
(Isto bate com os resultados da aresta anterior nos pontos em comum (0,1).)
Passo 8
Analisar a terceira aresta (y=-1-x,\;-1\le x\le0). Substituindo:
f(x,-1-x)=x^{2}-(-1-x)^{2}.
Mas (-1-x)^{2}=1+2x+x^{2}, portanto
f(x,-1-x)=x^{2}-(1+2x+x^{2})=-1-2x,
que, para x\in[-1,0], vai de 1 (em x=-1) até -1 (em x=0). Os extremos nesta aresta ocorrem nos vértices (-1,0) e (0,-1).
Passo 9
Analisar a quarta aresta (y=x-1,\;0\le x\le1). Substituindo:
f(x,x-1)=x^{2}-(x-1)^{2}.
Como (x-1)^{2}=1-2x+x^{2}, temos
f(x,x-1)=x^{2}-(1-2x+x^{2})=2x-1,
que para x\in[0,1] varia de -1 (em x=0) a 1 (em x=1). Os extremos nesta aresta ocorrem em (0,-1) e (1,0).
Passo 10
Resumo dos valores obtidos na fronteira e nos vértices (recolhendo tudo com calma):
Nos quatro vértices:
(1,0): f(1,0)=1.
(-1,0): f(-1,0)=1.
(0,1): f(0,1)=-1.
(0,-1): f(0,-1)=-1.
Em pontos interiores de arestas as funções eram lineares 2x-1 ou -1-2x, portanto não apresentam extremos internos além dos vértices; os valores na fronteira variam entre -1 e 1.
Comparando com o ponto crítico interior (0,0) com f(0,0)=0, concluímos:
O maior valor encontrado em D é 1, atingido em (1,0) e em (-1,0).
O menor valor encontrado em D é -1, atingido em (0,1) e em (0,-1).
O ponto interior (0,0) com valor 0 não é extremo (é sela).
Resposta
Máximo global: f_{\max}=1 em (1,0) e (-1,0).
Mínimo global: f_{\min}=-1 em (0,1) e (0,-1).
Ponto crítico interior: (0,0) com f(0,0)=0, que é ponto de sela (não é máximo nem mínimo).