Classifique os pontos críticos das funções em \mathbb{R}^{2} a seguir:
2. Seja f(x, y)=\frac{1}{3} x^{3}+c x y^{2}+\frac{1}{2} x^{2}-\frac{1}{3} y^{3}, onde c é uma constante tal que 4 c^{3}+1 \neq 0. Classifique os pontos críticos de f, na dependência de c.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{1}{3}x^{3}+cxy^{2}+\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}y^{3},
onde c é uma constante tal que 4c^{3}+1\neq0. A tarefa é encontrar todos os pontos críticos de f em \mathbb{R}^{2} e classificá-los (mínimo local, máximo local ou sela), dependendo do valor de c.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função explícita f(x,y) acima.
  • A restrição 4c^{3}+1\neq0 (isso garante que certa expressão que surgirá não se anule).
  • Precisa-se classificar todos os pontos críticos em função de c.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar os pontos críticos calculando o gradiente e igualando a zero.
Derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=x^{2}+x+c y^{2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2c x y - y^{2}.
Os pontos críticos resolvem o sistema
\begin{cases} x^{2}+x+c y^{2}=0,\\[4pt] y(2c x - y)=0. \end{cases}
Da segunda equação temos duas possibilidades:
  • y=0.
  • y=2c x.
Casos:
Caso A: y=0. Substituindo em x^{2}+x+c y^{2}=0 obtemos x^{2}+x=0, ou seja x(x+1)=0. Logo há dois pontos críticos com y=0:
(0,0)\quad\text{e}\quad(-1,0).
Caso B: y=2c x. Substituindo na primeira equação:
x^{2}+x+c(2c x)^{2}=x^{2}+x+4c^{3}x^{2}=x\big(x(1+4c^{3})+1\big)=0.
Como foi dado 1+4c^{3}\neq0, as soluções são x=0 (que dá y=0, ponto já encontrado) ou
x=-\frac{1}{1+4c^{3}},\qquad y=2c x=-\frac{2c}{1+4c^{3}}.
Denotando este ponto por
P=\left(-\frac{1}{1+4c^{3}},\,-\frac{2c}{1+4c^{3}}\right),
temos, para 4c^{3}+1\neq0, que P é um ponto crítico distinto de (0,0) e (-1,0) quando c\neq0. (Observe que para c=0 o ponto P coincide com (-1,0).)
Portanto os pontos críticos são: (0,0), (-1,0) e P (com P possivelmente coincidente com (-1,0) quando c=0).]

Passo 3

Vamos preparar a ferramenta de classificação: o Hessiano. As segundas derivadas são
f_{xx}=2x+1,\qquad f_{xy}=2c y,\qquad f_{yy}=2c x - 2y.
A matriz Hessiana é
H(x,y)=\begin{pmatrix}2x+1 & 2c y\\[4pt] 2c y & 2c x - 2y\end{pmatrix}.
O teste clássico: calcular D=\det H=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}. Se D>0 e f_{xx}>0 temos mínimo local; se D>0 e f_{xx}<0 temos máximo local; se D<0 temos sela; se D=0 o teste é inconclusivo e devemos estudar termos de ordem superior ou direções apropriadas.]

Passo 4

Classificação do ponto (0,0).
Avaliar o Hessiano em (0,0):
f_{xx}(0,0)=1,\qquad f_{xy}(0,0)=0,\qquad f_{yy}(0,0)=0,
logo D(0,0)=1\cdot 0 - 0 = 0. O teste hessiano é inconclusivo. Precisamos analisar o comportamento de f perto de (0,0).
Observe restrições simples nas direções coordenadas:
  • Ao longo do eixo y=0: f(x,0)=\tfrac{1}{3}x^{3}+\tfrac{1}{2}x^{2}. Para x pequeno não nulo, o termo quadrático domina e f(x,0)\approx \tfrac{1}{2}x^{2}>0.
  • Ao longo do eixo x=0: f(0,y)=-\tfrac{1}{3}y^{3}. Para y>0 pequeno, f(0,y)<0; para y<0 pequeno, f(0,y)>0.
Assim, arbitrariamente perto de (0,0) f assume valores positivos e negativos (há direções em que f é positivo e outras em que é negativo). Isso caracteriza uma sela. Portanto:
Conclusão: (0,0) é uma ponto de sela para todo valor de c.

Passo 5

Classificação do ponto (-1,0).
Avaliar o Hessiano em (-1,0):
f_{xx}(-1,0)=2(-1)+1=-1,\qquad f_{xy}(-1,0)=0,\qquad f_{yy}(-1,0)=2c(-1)-0=-2c.
O determinante é
D(-1,0)=(-1)\cdot(-2c)-0=2c.
  • Se c>0: então D=2c>0 e f_{xx}=-1<0. Portanto (-1,0) é um máximo local quando c>0.
  • Se c<0: então D=2c<0. Logo (-1,0) é uma sela quando c<0.
  • Se c=0: então D=0 (caso degenerado). Para c=0 podemos fazer uma expansão local para decidir: colocando x=-1+u e desenvolvendo f em potências de u,y obtém-se termos dominantes f(-1+u,y)=\text{const} -\tfrac{1}{2}u^{2} + \tfrac{1}{3}u^{3} -\tfrac{1}{3}y^{3}+\cdots.Aqui a direção u (isto é, x-direção) tem termo quadrático negativo (dá valores negativos para u\neq0 pequeno) enquanto a direção y tem termo cúbico -\tfrac{1}{3}y^{3} que muda de sinal conforme o sinal de y. Logo há vizinhança onde f toma sinais positivos e negativos: é uma sela também para c=0.
Portanto, resumindo (-1,0):
  • máximo local para c>0;
  • sela para c\le0.

Passo 6

Classificação do ponto P=\left(-\dfrac{1}{1+4c^{3}},-\dfrac{2c}{1+4c^{3}}\right) (assumindo 1+4c^{3}\neq0).
Observação útil: neste ponto verifica-se y=2c x. Substituindo y=2c x nas expressões do Hessiano obtém-se (no ponto P, com x denotando a componente x de P):
f_{xx}=2x+1,\qquad f_{xy}=4c^{2}x,\qquad f_{yy}=-2c x.
Calculamos o determinante de uma forma que simplifica muito. Usando x=-\dfrac{1}{1+4c^{3}} (denote A=1+4c^{3}) obtemos, após simplificação,
D(P)=\det H(P)=-\frac{2c}{1+4c^{3}}=-\frac{2c}{A}.
Também
f_{xx}(P)=\frac{4c^{3}-1}{1+4c^{3}}=\frac{4c^{3}-1}{A}.
Agora avaliamos os sinais para classificar P:
  • Se c>0: então A=1+4c^{3}>0 e -2c/A<0. Assim D(P)<0, logo P é uma sela para todo c>0.
  • Se c<0: há dois subcasos dependendo do sinal de A:
    • Se -\sqrt[3]{\tfrac{1}{4}}<c<0 (isto é, 1+4c^{3}>0), então -2c/A>0 (pois -2c>0 e A>0), logo D(P)>0. Além disso, para c<0 tem-se 4c^{3}-1<0, portanto f_{xx}(P)<0. Assim D>0 e f_{xx}<0 implicam que P é um máximo local quando -\sqrt[3]{\tfrac{1}{4}}<c<0.
    • Se c< -\sqrt[3]{\tfrac{1}{4}} (isto é, 1+4c^{3}<0), então A<0 e -2c>0 mas A<0 implica -2c/A<0. Logo D(P)<0 e P é uma sela quando c< -\sqrt[3]{\tfrac{1}{4}}.
  • Se c=0: então P coincide com (-1,0) (caso já tratado). Para c=0 não há ponto P distinto.
Resumindo para P (considerando 1+4c^{3}\neq0):
  • P é máximo local se -\sqrt[3]{\tfrac{1}{4}}<c<0.
  • P é sela se c>0 ou c< -\sqrt[3]{\tfrac{1}{4}}.
  • Para c=0 o ponto P coincide com (-1,0) (já classificado).

Resposta

(0,0): sela para todo c.
(-1,0): máximo local se c>0; sela se c\le0.
P=\left(-\frac{1}{1+4c^{3}},-\frac{2c}{1+4c^{3}}\right) \text{:}
máximo local se -\sqrt[3]{\tfrac{1}{4}}<c<0; sela se c>0 ou c<-\sqrt[3]{\tfrac{1}{4}}.

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