Classifique os pontos críticos das funções em
a seguir:
2. Seja
, onde
é uma constante tal que
. Classifique os pontos críticos de
, na dependência de
.
2. Seja
Passo 1
O enunciado dá a função
onde
é uma constante tal que
. A tarefa é encontrar todos os pontos críticos de
em
e classificá-los (mínimo local, máximo local ou sela), dependendo do valor de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função explícita
acima. - A restrição
(isso garante que certa expressão que surgirá não se anule). - Precisa-se classificar todos os pontos críticos em função de
.
Passo 2
Primeiro vamos encontrar os pontos críticos calculando o gradiente e igualando a zero.
Derivadas parciais:
Os pontos críticos resolvem o sistema
Da segunda equação temos duas possibilidades:
-
. -
.
Casos:
Caso A:
. Substituindo em
obtemos
, ou seja
. Logo há dois pontos críticos com
:
Caso B:
. Substituindo na primeira equação:
Como foi dado
, as soluções são
(que dá
, ponto já encontrado) ou
Denotando este ponto por
temos, para
, que
é um ponto crítico distinto de
e
quando
. (Observe que para
o ponto
coincide com
.)
Portanto os pontos críticos são:
,
e
(com
possivelmente coincidente com
quando
).]
Passo 3
Vamos preparar a ferramenta de classificação: o Hessiano. As segundas derivadas são
A matriz Hessiana é
O teste clássico: calcular
. Se
e
temos mínimo local; se
e
temos máximo local; se
temos sela; se
o teste é inconclusivo e devemos estudar termos de ordem superior ou direções apropriadas.]
Passo 4
Classificação do ponto
.
Avaliar o Hessiano em
:
logo
. O teste hessiano é inconclusivo. Precisamos analisar o comportamento de
perto de
.
Observe restrições simples nas direções coordenadas:
- Ao longo do eixo
: . Para pequeno não nulo, o termo quadrático domina e . - Ao longo do eixo
: . Para pequeno, ; para pequeno, .
Assim, arbitrariamente perto de
assume valores positivos e negativos (há direções em que
é positivo e outras em que é negativo). Isso caracteriza uma sela. Portanto:
Conclusão:
é uma ponto de sela para todo valor de
.
Passo 5
Classificação do ponto
.
Avaliar o Hessiano em
:
O determinante é
- Se
: então e . Portanto é um máximo local quando . - Se
: então . Logo é uma sela quando . - Se
: então (caso degenerado). Para podemos fazer uma expansão local para decidir: colocando e desenvolvendo em potências de obtém-se termos dominantes Aqui a direção (isto é, -direção) tem termo quadrático negativo (dá valores negativos para pequeno) enquanto a direção tem termo cúbico que muda de sinal conforme o sinal de . Logo há vizinhança onde toma sinais positivos e negativos: é uma sela também para .
Portanto, resumindo
:
- máximo local para
; - sela para
.
Passo 6
Classificação do ponto
(assumindo
).
Observação útil: neste ponto verifica-se
. Substituindo
nas expressões do Hessiano obtém-se (no ponto
, com
denotando a componente
de
):
Calculamos o determinante de uma forma que simplifica muito. Usando
(denote
) obtemos, após simplificação,
Também
Agora avaliamos os sinais para classificar
:
-
Se
: então e . Assim , logo é uma sela para todo . -
Se
: há dois subcasos dependendo do sinal de : - Se
(isto é, ), então (pois e ), logo . Além disso, para tem-se , portanto . Assim e implicam que é um máximo local quando . - Se
(isto é, ), então e mas implica . Logo e é uma sela quando .
- Se
-
Se
: então coincide com (caso já tratado). Para não há ponto distinto.
Resumindo para
(considerando
):
-
é máximo local se . -
é sela se ou . - Para
o ponto coincide com (já classificado).
Resposta
máximo local se
; sela se
ou
.