Classifique os pontos críticos das funções em \mathbb{R}^{2} a seguir:
1.
f(x, y)=x^{8}+y^{8}-8 x y

Passo 1

O enunciado pede para classificar os pontos críticos da função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}
f(x,y)=x^{8}+y^{8}-8xy.
Informações dadas:
  • A função explícita é f(x,y)=x^{8}+y^{8}-8xy.
  • A tarefa é encontrar todos os pontos críticos (pontos onde o gradiente é zero) e dizer se cada um é mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
    Nenhuma outra informação é fornecida.

Passo 2

Calcular o gradiente e igualar a zero para achar os pontos críticos.
Primeiro, as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=8x^{7}-8y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=8y^{7}-8x.
Igualando as duas a zero (condição \nabla f=0):
8x^{7}-8y=0 \quad\Rightarrow\quad x^{7}=y,
8y^{7}-8x=0 \quad\Rightarrow\quad y^{7}=x.
Essas duas equações formam o sistema a ser resolvido.

Passo 3

Resolver o sistema x^{7}=y e y^{7}=x.
Substituindo y=x^{7} na segunda equação dá
y^{7}=(x^{7})^{7}=x^{49}=x.
Portanto
x^{49}-x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x^{48}-1)=0.
Analisar as soluções reais:
  • x=0 é solução.
  • x^{48}=1. Como 48 é par, as únicas soluções reais são x=1 e x=-1 (porque (\pm1)^{48}=1 e nenhum outro real elevado a uma potência par dá exatamente 1 além de \pm1).
Para cada x achado, y=x^{7}:
  • Se x=0 então y=0.
  • Se x=1 então y=1^{7}=1.
  • Se x=-1 então y=(-1)^{7}=-1.
Logo os pontos críticos são
(0,0),\quad (1,1),\quad (-1,-1).

Passo 4

Explicar o teste das derivadas segundas (Hessiana) para classificar pontos críticos em \mathbb{R}^2.
A matriz Hessiana de f é
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix},
onde
f_{xx}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\quad f_{yy}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\quad f_{xy}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}.
Para função C^2 em \mathbb{R}^2, o teste clássico diz:
  • Calcule D=\det H(x_0,y_0)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2.
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então é mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então é máximo local.
  • Se D<0 então é ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo e são necessárias técnicas superiores.
Agora vamos obter as segundas derivadas explícitas.]

Passo 5

Calcular as derivadas segundas gerais.
A partir de f_x=8x^{7}-8y e f_y=8y^{7}-8x,
f_{xx}=56x^{6},\qquad f_{yy}=56y^{6},\qquad f_{xy}=f_{yx}=-8.
Portanto a Hessiana é
H(x,y)=\begin{pmatrix}56x^{6} & -8\\[4pt]-8 & 56y^{6}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Classificar o ponto crítico (0,0).
Avaliar as segundas derivadas em (0,0):
f_{xx}(0,0)=56\cdot 0^{6}=0,\quad f_{yy}(0,0)=0,\quad f_{xy}(0,0)=-8.
Determinante da Hessiana:
D(0,0)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=0\cdot 0-(-8)^{2}=-64<0.
Como D<0, pela regra acima (0,0) é um ponto de sela.

Passo 7

Classificar os pontos críticos (1,1) e (-1,-1).
Avaliar em (1,1):
f_{xx}(1,1)=56\cdot 1^{6}=56,\quad f_{yy}(1,1)=56,\quad f_{xy}(1,1)=-8.
Determinante:
D(1,1)=56\cdot 56-(-8)^{2}=3136-64=3072>0.
Como D>0 e f_{xx}(1,1)=56>0, conclui-se que (1,1) é mínimo local.
Avaliar em (-1,-1):
f_{xx}(-1,-1)=56\cdot (-1)^{6}=56,\quad f_{yy}(-1,-1)=56,\quad f_{xy}=-8,
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D(-1,-1)=3072>0
e f_{xx}(-1,-1)=56>0. Portanto (-1,-1) também é mínimo local.

Resposta

(0,0): ponto de sela
(1,1): mínimo local
(-1,-1): mínimo local

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