Classifique os pontos críticos das funções em
a seguir:
1.
1.
Passo 1
O enunciado pede para classificar os pontos críticos da função
Informações dadas:
- A função explícita é
. - A tarefa é encontrar todos os pontos críticos (pontos onde o gradiente é zero) e dizer se cada um é mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Nenhuma outra informação é fornecida.
Passo 2
Calcular o gradiente e igualar a zero para achar os pontos críticos.
Primeiro, as derivadas parciais:
Igualando as duas a zero (condição
):
Essas duas equações formam o sistema a ser resolvido.
Passo 3
Resolver o sistema
e
.
Substituindo
na segunda equação dá
Portanto
Analisar as soluções reais:
-
é solução. -
. Como é par, as únicas soluções reais são e (porque e nenhum outro real elevado a uma potência par dá exatamente além de ).
Para cada
achado,
:
- Se
então . - Se
então . - Se
então .
Logo os pontos críticos são
Passo 4
Explicar o teste das derivadas segundas (Hessiana) para classificar pontos críticos em
.
A matriz Hessiana de
é
onde
Para função
em
, o teste clássico diz:
- Calcule
. - Se
e então é mínimo local. - Se
e então é máximo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo e são necessárias técnicas superiores.
Agora vamos obter as segundas derivadas explícitas.]
Passo 5
Calcular as derivadas segundas gerais.
A partir de
e
,
Portanto a Hessiana é
Passo 6
Classificar o ponto crítico
.
Avaliar as segundas derivadas em
:
Determinante da Hessiana:
Como
, pela regra acima
é um ponto de sela.
Passo 7
Classificar os pontos críticos
e
.
Avaliar em
:
Determinante:
Como
e
, conclui-se que
é mínimo local.
Avaliar em
:
logo
e
. Portanto
também é mínimo local.