Determine os coeficicentes de fourier dos vetores da base canônica do R^3 em relação ao conjunto ortogonal (1,0,-1),(-1,0,1),(0,-1,0).

Passo 1

O enunciado pede que expressemos cada vetor da base canônica
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)
como combinação linear do conjunto ortogonal
u1=(1,0,-1),,u2=(-1,0,1),,u3=(0,-1,0).
Para isso, usamos a fórmula dos coeficientes em base ortogonal:
alphai = lang<= ej,,uirang<=lang<= ui,,uirang<=

Passo 2

Calculemos primeiro os quadrados das normas:
lang<= u1,u1rang<= = 1^2+0^2+(-1)^2 = 2, lang<= u2,u2rang<= = (-1)^2+0^2+1^2 = 2, lang<= u3,u3rang<= = 0^2+(-1)^2+0^2 = 1

Passo 3

Projeta-se e1=(1,0,0):
lang<= e1,u1rang<= = 1cdot1+0cdot0+0cdot(-1)=1 ;Longrightarrow; alpha1 = 12,
lang<= e1,u2rang<= = 1cdot(-1)+0cdot0+0cdot1 = -1 ;Longrightarrow; alpha2 = -12,
lang<= e1,u3rang<= = 1cdot0+0cdot(-1)+0cdot0 = 0 ;Longrightarrow; alpha3 = 0
Logo
e1 = tfrac12,u1 - tfrac12,u2 + 0cdot u3

Passo 4

Projeta-se e2=(0,1,0):
lang<= e2,u1rang<= = 0, lang<= e2,u2rang<= = 0, lang<= e2,u3rang<= = 0cdot0+1cdot(-1)+0cdot0 = -1 ;Longrightarrow; alpha3 = -1
Logo
e2 = 0cdot u1 + 0cdot u2 -1cdot u3

Passo 5

Projeta-se e3=(0,0,1):
lang<= e3,u1rang<= = 0cdot1+0cdot0+1cdot(-1) = -1 ;Longrightarrow; alpha1 = -tfrac12,
lang<= e3,u2rang<= = 0cdot(-1)+0cdot0+1cdot1 = 1 ;Longrightarrow; alpha2 = tfrac12,
lang<= e3,u3rang<= = 0
Logo
e3 = -tfrac12,u1 + tfrac12,u2 + 0cdot u3

Resposta

e1 = (12, -12, 0)
e2 = (0, 0, -1)
e3 = (-12, 12, 0)

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