Verifique se os conjuntos a seguir são ortogonais para os espaços com produto interno conforme indicado.
(1,2),(-2,3),(2,-1) com o produto interno usual do R^2

Passo 1

O enunciado dá o conjunto (1,2),,(-2,3),,(2,-1) em R^2 com o produto interno usual e pede para verificar se ele é ortogonal, ou seja, se cada par de vetores é perpendicular segundo esse produto interno.

Passo 2

Em R^2 com o produto interno usual, o produto de (x1,x2) por (y1,y2) é
lang<=(x1,x2),(y1,y2)rang<= = x1y1 + x2y2
Dois vetores são ortogonais quando esse produto interno dá zero. Logo, precisamos checar se
lang<= vi,vjrang<= = 0 para todo ineq j.

Passo 3

Calculemos os produtos internos entre os três pares:
lang<=(1,2),,(-2,3)rang<= = 1cdot(-2) + 2cdot3 = -2 + 6 = 4,
lang<=(1,2),,(2,-1)rang<= = 1cdot2 + 2cdot(-1) = 2 - 2 = 0,
lang<=(-2,3),,(2,-1)rang<= = (-2)cdot2 + 3cdot(-1) = -4 - 3 = -7

Passo 4

Como lang<=(1,2),,(-2,3)rang<= = 4neq0 e lang<=(-2,3),,(2,-1)rang<= = -7neq0, nem todos os pares têm produto interno zero. Portanto, o conjunto não é ortogonal.

Resposta

O conjunto não é ortogonal no espaço R^2 com o produto interno usual.

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