Derive as seguintes funções:
(1-x^-1)^-1

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer. A questão pede para derivar a função . Isso está dentro do assunto de cálculo diferencial, onde aprendemos a encontrar a taxa de variação de uma função. Para resolver isso, vamos usar algumas regras de derivação básicas, como a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. A função original é:
f(x) = (1 - x^-1)^-1
Podemos reescrever f(x) = (1 - 1x)^-1 como f(x) = 11 - 1x , então:
Isso é equivalente a:

Passo 3

Agora, para simplificar ainda mais, vamos combinar as frações no denominador:
1 - 1x = xx - 1x = x - 1x
Então, a função fica:
f(x) = 1x - 1x = xx - 1

Passo 4

Agora temos uma forma mais simples da função:
f(x) = xx - 1
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2 , então:
Aqui, identificamos:
  • então
  • então

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) = 1 cdot (x - 1) - x cdot 1(x - 1)^2 = x - 1 - x(x - 1)^2
Simplificando o numerador:
x - 1 - x = -1
Então:
f'(x) = -1(x - 1)^2

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = -1(x - 1)^2

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