Determine o coeficiente de fourier da função:
f(x)=\left\{\begin{array}{rll}
-x & , & -2 \leq x \leq 0 \\
x & , & 0 \leq x \leq 2
\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de
que é ímpar. Para resolver vamos usar as fórmulas padrão de coeficientes em :

Passo 2

Como f é ímpar, o integrando em a0 e em an (que envolve cos, par) é função ímpar. Logo
a0 = 0, an = 0 (forall n>=1)

Passo 3

Para bn usamos que f(x)sin(npi x/L) é par quando f e sin são ímpares. Assim
bn = 12integral-2^2f(x)sin!l(tfracnpi x2r),dx = integral0^2xsin!l(tfracnpi x2r),dx

Passo 4

Calculamos
integral0^2xsin!l(tfracnpi x2r),dx
Fazendo u=x, dv=sin(tfracnpi x2)dx resulta em v=-tfrac2npicos(tfracnpi x2). Então
integral0^2xsin!l(tfracnpi x2r),dx =l[-2xnpicos!l(tfracnpi x2r)r]0^2 +2npiintegral0^2cos!l(tfracnpi x2r),dx
O segundo termo se anula pois sin(npi)=0. O primeiro dá
-2cdot2npicos(npi)-0 =-4npi(-1)^n =4(-1)^n+1npi
Logo
bn = 4(-1)^n+1npi

Resposta

a0=0
an=0 para todo n>=1
bn = 4(-1)^n+1npi

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