Encontre a equação do plano tangente à superfície no ponto indicado.
Lembrando que, para uma superfície f(x, y, z)=k, com um k constante, e um ponto (x0, y0, z0), a equação deste plano é
fx(x0, y0, z0)(x-x0)+fy(x0, y0, z0)(y-y0)+fz(x0, y0, z0)(z-z0)=0
cos (x)+sen(z)-y=0, no ponto (-pi,-1, pi).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície definida implicitamente por
f(x,y,z)=cos(x)+sin(z)-y=0
no ponto l(x0,y0,z0r)=(-pi,-1,pi). Vamos usar a fórmula do plano tangente a uma superfície implícita
fx(x0,y0,z0),(x-x0)+fy(x0,y0,z0),(y-y0)+fz(x0,y0,z0),(z-z0)=0

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx(x,y,z) = -sin(x), fy(x,y,z) = -1, fz(x,y,z) = cos(z)

Passo 3

Avaliamo-las no ponto (-pi,-1,pi):
fx(-pi,-1,pi) = -sin(-pi) = 0,
fy(-pi,-1,pi) = -1,
fz(-pi,-1,pi) = cos(pi) = -1

Passo 4

Substituindo na fórmula do plano tangente:
0cdot(x-(-pi)) ;+; (-1)cdot(y-(-1)) ;+; (-1)cdot(z-pi)=0
que simplifica para
-(y+1);-;(z-pi)=0 Longrightarrow y+1+z-pi=0 Longrightarrow y+z=pi-1

Resposta

A equação do plano tangente é
y+z=pi-1

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