Determine os coeficientes das equações abaixo, reduzindo-os aos menores números inteiros.
a)
a)
Passo 1
Tranquilo, o exercício pede para equilibrar a reação
Isso é um problema de conservação de massa: cada átomo que entra na reação tem de sair em igual número. Vamos usar o método algébrico, atribuindo coeficientes incógnitos a cada substância e montando equações de contagem de átomos (Cr, Mn, S, K, H, O).
Passo 2
Primeiro, chamamos de
a · Cr₂(SO₄)₃ + b · H₂O + c · KMnO₄ + d · K₂SO₄ → e · K₂Cr₂O₇ + f · H₂SO₄ + g · MnSO₄
Cada letra é um coeficiente que ainda não sabemos. Agora escrevemos uma equação para cada elemento:
a · Cr₂(SO₄)₃ + b · H₂O + c · KMnO₄ + d · K₂SO₄ → e · K₂Cr₂O₇ + f · H₂SO₄ + g · MnSO₄
Cada letra é um coeficiente que ainda não sabemos. Agora escrevemos uma equação para cada elemento:
- Cr: 2a = 2e
- Mn: c = g
- K: c + 2d = 2e
- H: 2b = 2f
- S: 3a + d = f + g
- O: 12a + b + 4c + 4d = 7e + 4f + 4g
Passo 3
Agora simplificamos essas equações usando as relações fáceis:
- De (1): e = a
- De (2): g = c
- De (4): f = b
Substituímos em (3), (5) e (6):
(3) c + 2d = 2a
(5) 3a + d = b + c
(6) 12a + b + 4c + 4d = 7a + 4b + 4c
(5) 3a + d = b + c
(6) 12a + b + 4c + 4d = 7a + 4b + 4c
Reescrevendo:
• c = 2a – 2d
• b = 3a + d – c = 3a + d – (2a – 2d) = a + 3d
• e = a, f = b, g = c
• b = 3a + d – c = 3a + d – (2a – 2d) = a + 3d
• e = a, f = b, g = c
E (6) vira: 12a + b +4c +4d = 7a +4b +4c ⇒ 5a +4d = 3b ⇒ 5a +4d = 3(a+3d)
Passo 4
Resolvendo 5a +4d = 3a +9d ⇒ 2a =5d ⇒ a = (5/2)d. Para termos inteiros mínimos, escolhemos d=2 ⇒ a=5.
Daí:
c = 2a –2d = 10–4 = 6
b = a +3d = 5+6 = 11
e = a = 5, f = b = 11, g = c = 6
Daí:
c = 2a –2d = 10–4 = 6
b = a +3d = 5+6 = 11
e = a = 5, f = b = 11, g = c = 6
Pronto, são todos inteiros e já no menor conjunto.