Determine os coeficientes da representação em série de Fourier dos seguintes sinais:
b) x[n]=cos ^2(pi n / 5)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar os coeficientes da série de Fourier discreta e periódica do sinal
x[n]=cos^2!l(tfracpi n5r)
Isso é Série de Fourier em tempo discreto, então vamos precisar de:
  1. saber qual é o período x[n]=sumk=0^N-1ak,e^j2pi kNn desse sinal;
  2. usar identidade trigonométrica pra simplificar ;
  3. relacionar o resultado com a forma padrão da Série de Fourier:

Passo 2

Primeiro, qual é o período ?
  • A gente tem .
  • Num sinal , o período é .
    Logo aqui . Isso significa que a gente vai ter para os coeficientes .

Passo 3

Agora a identidade mágica pra cos^2theta ;=;1+cos(2theta)2 :
x[n] =cos^2!l(tfracpi n5r) =1+cos!l(2cdottfracpi n5r)2 =12 + 12cos!l(tfrac2pi n5r)
Substituindo , dá

Passo 4

A gente tem então
x[n]=12 + 12cos!l(tfrac2pi n5r)
Mas x[n] =12 +12cdote^j2pi5n+e^-j2pi5n2 =12 +14e^j2pi5n +14e^-j2pi5n .
Logo
Comparando com a forma
,
a gente vê que:
  • O termo constante é , então .
  • O termo corresponde a (pois ), então .
  • O termo corresponde a (ou seja, módulo 10), então .
  • Todos os outros são zero.

Resposta

Os coeficientes da Série de Fourier do sinal a0 = tfrac12, a2 = tfrac14, a8 = tfrac14, ak = 0, kneq 0,2,8 (bmod 10) com período são:

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