Determine os coeficientes da representação em série de Fourier dos seguintes sinais:
d) x[n]=sumk=-infty^+infty q[n-k 3], q[n]=p[n]-p[-n], p[n]=2 de

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar os coeficientes da série de Fourier discreta (DTFS) de
x[n] ;=;sumk=-infty^+infty q[n - 3k],
onde
q[n] = p[n] - p[-n], p[n] = 2,de
Ou seja, temos um sinal a[k] = 1N0sumn=0^N0-1 x[n],e^-j2piN0kn definido por funções delta deslocadas, e depois “repetido” com período .
Para resolver isso, a gente vai precisar:
  • Usar propriedades dos deltas para simplificar .
  • Entender que é um sinal periódico de período .
  • Aplicar a fórmula da DTFS:

Passo 2

Primeiro, vamos achar p[n] = 2,de.
Escrevendo cada parte:
p[-n] = 2,de
e trocando q[n] = p[n] - p[-n] = l(2de por q[n] = de:
Subtraindo,
Distribuindo sinais e juntando termos iguais, sobra

Passo 3

Agora x[n] = sumk=-infty^+infty q[n-3k] é a extensão periódica de com período :
Isso significa que basta olhar os valores de para , e depois usar a fórmula da DTFS.

Passo 4

Vamos calcular a[k] = 13sumn=0^2 x[n],e^-j2pi3kn = 13l(0 cdot e^-j0 + (-1)e^-j2pi3k + (1)e^-j4pi3kr) .
Como :
  • .
Agora aplicamos a fórmula da DTFS com :

Passo 5

Basta simplificar:
a[k] = 13l(-e^-j2pi3k + e^-j4pi3kr)
Note que
e^-j4pi3k = e^-jl(2pi - tfrac2pi3r)k = e^-j2pi k,e^,j2pi3k = e^,j2pi3k (porque e^-j2pi k=1)
Então
a[k] = 13l(e^j2pi3k-e^-j2pi3kr) = 2j3,sin!l(tfrac2pi3kr)

Resposta

Os coeficientes da série de Fourier discreta de boxed a[k] ;=; 13l(e^-j4pi3k-e^-j2pi3kr) long<=ftrightarrow a[k] = 2j3,sin!l(tfrac2pi3kr) são

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