Determine os coeficientes da representação em série de Fourier dos seguintes sinais:
i)
i)
Passo 1
Beleza, então o exercício diz que
é um sinal periódico de período
dado pela repetição de
A matéria aqui é Série de Fourier complexa: a gente vai achar os coeficientes
com
.
Pra resolver, vamos precisar:
Pra resolver, vamos precisar:
- entender que
só vale alguma coisa entre e , pois cada é uma “porta” de largura 1, - usar a fórmula de
, - quebrar a integral nos trechos
e , - aplicar integração por partes.
Passo 2
Definimos
Mas como
é só uma soma de cópias de
, e
é zero fora de
, dá para trocar o intervalo para
Agora, lembrando que
a gente separa a integral em
Passo 3
Calcular
I1 = e^jalpha,jalpha, ;+;e^jalpha-1alpha^2 , onde
.
Usando integração por partes ( ,
), acha-se
Usando integração por partes (
Passo 4
Agora
I2 = -1,jalpha,;+;e^-jalpha-1alpha^2, .
De novo por partes (ou usando resultado anterior para ), dá
De novo por partes (ou usando resultado anterior para
Passo 5
Somando
I1+I2 =e^jalpha-1jalpha ;+; 2(cosalpha-1)alpha^2, e dividindo por 6:
logo
Substituindo
a gente já tem o coeficiente certinho.
Resposta
Os coeficientes da série de Fourier de
boxed ak = 16,e^,jkpi3 - 1,jkpi3! ;+; 16,2l(cos!tfrackpi3-1r)l(tfrackpi3r)^2 são, para todo inteiro
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