Determine os coeficientes da representação em série de Fourier dos seguintes sinais:
i) x(t)=sumk=-infty^+infty p(t-k 6), p(t)=-t G1(t+0.5)+(t-1) G1(t-0.5)

Passo 1

Beleza, então o exercício diz que
p(t);=;-,t,G1(t+0.5);+;(t-1),G1(t-0.5), é um sinal periódico de período ak ;=;1Tintegralum período x(t),e^-jkomega0 t,dt dado pela repetição de
A matéria aqui é Série de Fourier complexa: a gente vai achar os coeficientes
í
com .
Pra resolver, vamos precisar:
  1. entender que só vale alguma coisa entre e , pois cada é uma “porta” de largura 1,
  2. usar a fórmula de ,
  3. quebrar a integral nos trechos e ,
  4. aplicar integração por partes.

Passo 2

Definimos
omega0 = 2pi6 = pi3, ak = 16integral-3^+3 x(t),e^-jkomega0 t,dt
Mas como ak = 16integral-1^1 p(t),e^-jkomega0 t,dt é só uma soma de cópias de p(t)= -t, & tin[-1,0], t-1,& tin[0,1], 0, & fora, , e ak = 16l( underbraceintegral-1^0(-t),e^-jkomega0 tdtI1 + underbraceintegral0^1(t-1),e^-jkomega0 tdtI2 r) é zero fora de , dá para trocar o intervalo para
Agora, lembrando que
a gente separa a integral em

Passo 3

Calcular I1 = e^jalpha,jalpha, ;+;e^jalpha-1alpha^2 , onde .
Usando integração por partes ( , ), acha-se

Passo 4

Agora I2 = -1,jalpha,;+;e^-jalpha-1alpha^2, .
De novo por partes (ou usando resultado anterior para ), dá

Passo 5

Somando I1+I2 =e^jalpha-1jalpha ;+; 2(cosalpha-1)alpha^2, e dividindo por 6:
ak =16l[ e^jalpha-1jalpha ;+; 2(cosalpha-1)alpha^2 r]
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Substituindo a gente já tem o coeficiente certinho.

Resposta

Os coeficientes da série de Fourier de boxed ak = 16,e^,jkpi3 - 1,jkpi3! ;+; 16,2l(cos!tfrackpi3-1r)l(tfrackpi3r)^2 são, para todo inteiro :

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