Determine x(t) cujas transformadas de Fourier são dadas por
a) X(j omega)=j[2 u(omega)-u(omega+1)-u(omega-1)]

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem é:
“Determine X(jomega)=jl[2,u(omega)-u(omega+1)-u(omega-1)r] cuja Transformada de Fourier é
x(t)=12piintegral-infty^+inftyX(jomega),e^jomega t,domega
Isso cai em Transformada de Fourier e, mais especificamente, em como inverter combinações de funções degrau . Para resolver a gente vai precisar:
  1. Entender como esse se comporta em cada intervalo de .
  2. Montar a integral de inversão
  1. Calcular as integrais de pedaços (onde é constante).

Passo 2

Primeiro a gente expressa o pedaço u(omega)= 0,&omega<0, 1,&omega>=0, de forma “retângulo” em X(jomega)=jl[0cdot2 -1 -0r]=-j . Lembra que
X(jomega)=jl[2cdot1 -1 -0r]=j
então:
  • Para X(jomega)=jl[2 -1 -1r]=0 : todos os três degraus valem zero ⇒ X(jomega)= -j, & -1<=omega<0, ;j, & ;0<=omega<1, ;0,&else .
  • Para : , ,
  • Para : , ,
  • Para :
Ou seja, na prática

Passo 3

Agora é a hora de inverter:
x(t) =12piintegral-infty^+inftyX(jomega),e^jomega t,domega =12pil[integral-1^0(-j)e^jomega tdomega ;+;integral0^1j,e^jomega tdomegar]

Passo 4

A gente usa a primitiva de x(t) =12pil[e^j t-1t-l(-1-e^-j ttr)r] =12pi,e^j t-1+1-e^-j tt =12pi,e^j t+e^-j t-2t em relação a x(t)=2cos t-22pi,t =cos t-1pi,t , que é . Então:
Substituindo:
Como , fica

Resposta

boxedx(t)=cos t - 1pi,t

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